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Vektorgeometrie Punktebestimmung eines Tetraeders
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Dreieck, flächenformel, tetraeder, Vektorgeometrie
 
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Ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen, komme aber auf keinen Vernünftigen Lösungsansatz. Zu finden ist diese Aufgabe auf Seite www.mguehr.ch/Skript%20Vektorgeometrie.pdf). Bei habe ich die Fläche 6 erhalten, nun scheitere ich jedoch bei weil die einzelnen Seiten unterschiedliche Längen besitzen (da es aber ein Tetraeder sein soll, scheitere ich schon daran?). Des weiteren gelingt es mir keine Skizze zu machen, wo ich erkennen könnte, welche Punkte gemeint sind und überhaupt am Formalen Aufbau komme ich auf keinen grünen Zweig mehr. Gegeben sind 4 Punkte, und die Aufgabenstellung: "Es gibt zwei Tetraeder ABCD mit Volumen wobei der Höhenfusspunkt der Höhe zur Ecke genau auf der Mitte von BC liegt. Berechne die Koordinaten von D." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Benutze die Volumenformel V=1/3 * G * h Die Grundfläche G hast du schon in a) berechnet. Die Höhe h geht durch den Mittelpunkt der Strecke BC und verläuft senkrecht zur Ebene durch A,B, und C. Damit kannst du eine Geradengleichung für die Höhe aufstellen und kannst h dann auch durch den Geradenparameter ausdrücken. |
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schonmal ein Danke so weit. Ich hab oben geschrieben "4 gegeben", sollte aber 3 stehen. Also ich habe nun berechnet und erhalten, sowie die Höhe, dessen Betrag 9 ergibt. Jetzt ist ja bekannt, dass der Vektor MD senkrecht auf dem Dreieck steht, also bietet sich da vermutlich ein Kreuzprodukt an. für habe ich den Vektor (nachvollziehbar was ich meine? bekomme das mit der Schreibweise nicht hin) Nun sollte ja irgendwie folgendes gelten: AC BC weiter komme ich hier aber trotzdem nicht mehr. |
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Es gibt mehrere Möglichkeiten. Wenn du die Höhe nun schon ausgerechnet hast dann kannst du auch durch eine Vektorgleichung für OD auf die Koordinaten von D kommen. Dafür startet man in M und muss dann (in beide Richtungen) den Normalenvektor n=ABxAC so anpassen, dass er die Länge 9 hat. Das bekommt man dadurch hin, dass man ihn zuerst normiert, also durch |n| dividiert und danach mit 9 multipliziert. Andererseits muss man die Höhe nicht unbedingt ausrechnen, sondern kann in die Volumenformel auch direkt für h die Entfernung von M zu einem Punkt der Geraden g einsetzen wobei g:x=(2;1;3)+k(-2;2;1) lauten kann denn diese Gerade verläuft durch M senkrecht zur Dreiecks(grund)fläche. Zur Kontrolle: D1(8|-5|0) D2(-4|7|6) |
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Vielen dank, habe das nun mit der Normierung und der anschliessenden Vektoraddition gelöst, hat mir sehr geholfen. |
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