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Vektorrechnung Seitenhalbierende

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Eckpunkt, Seitenhalbierende, Strecke, Vektorrechnung, Verhältnis

Zhaya aktiv_icon

19:34 Uhr, 21.01.2019

Hey. Ich komm nicht weiter bzw. bin ich mir nicht ganz sicher, wie es jetzt weiter geht. Aufgabe A hab ich schon (hoffentlich richtig) gemacht.

Also:

Die Punkte

A (2 | - 1 | 2), B (8 | 6 | - 2), C (2 | 4 | 0)

bilden ein Dreieck.

a)

Berechenen Sie die Seitenmittel punkte MAB, MBC, MAC.

b)

Als Seitenhalbierende bezeichnet man die Strecken von einem Eckpunkt des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seitenmitte. Berechnen Sie für jede Seitenhalbierende des Dreiecks ABC den Punkt

S,

der sie vom Eckpunkt aus gesehen im Verhältnis

2 : 1

teilt.

c)

Wählen Sie ein beliebiges Dreieck im dreidimensionalen Raum und prüfen Sie, ob sich bei der entsprechenden Rechnung wie in Teilaufgabe

B

auch für jede Seitenhalbierende der selbe Teilungspunkt

S

ergibt.

Meine Lösung für A ist:

MAB

= (\begin{matrix} 5 \\ 2,5 \\ 0 \end{matrix})

MBC

= (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ - 1 \end{matrix})

MAC

= (\begin{matrix} 2 \\ 1,5 \\ 1 \end{matrix})

MAB hab ich

z . B

so berechnet:

AB

= B - A = (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ - 4 \end{matrix})

MAB

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3.5 \\ - 2 \end{matrix})

M = A + \frac{1}{2}

= (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 3.5 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 2,5 \\ 0 \end{matrix})

Jetzt kommt ja Aufgabe B. Ich hab das jetzt so verstanden, dass ich von einem Eckpunkt also

A, B

oder

C

den gegenüberliegenden Mittelpunkt berechnen muss also von Eckpunkt

A,

der Mittelpunkt von Strecke BC.
Ich weiß aber nicht ganz genau wie ich das machen soll. Muss ich einfach wie in der Rechnung die ich oben gepostet habe rechnen? Aber an sich kenn ich ja schon den Seitenmittelpunkt von BC also muss ich den ja nicht berechnen. Oder muss ich einfach so rechnen:

Von Eckpunkt

C

aus:

AB

= B - A = (\begin{matrix} 8 \\ 6 \\ - 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ - 4 \end{matrix})

S = \frac{2}{3}

= \frac{2}{3} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 4,6 \\ - 2,6 \end{matrix})

SAB

= A + \frac{2}{3}

= (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 4,6 \\ - 2,6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 3,6 \\ 8 \end{matrix})

?

Und Aufgabe

C

versteh ich gar nicht

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

20:36 Uhr, 21.01.2019

Überprüfe nochmals deine Berechnung von

b)

c)

Gleiche Aufgabenstellung, such dir die Angaben selbst aus.

Zhaya aktiv_icon

20:52 Uhr, 21.01.2019

Tut mir leid aber ich kann da nichts überprüfen, wenn ich nicht mal verstehe, wie Aufgabe

B

funktioniert und überhaupt die Aufgabenstellung richtig verstanden habe.

Respon

21:06 Uhr, 21.01.2019

b)

\vec{C} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

( Ortsvektor )

\vec{M_{\bar{A B}}} = (\begin{matrix} 5 \\ 2,5 \\ 0 \end{matrix})

(C M_{\bar{A B}}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 1,5 \\ 0 \end{matrix})

\vec{S} = \vec{C} + \frac{2}{3} \cdot M_{\bar{A B}} = . .

Zhaya aktiv_icon

21:28 Uhr, 21.01.2019

Wäre das dann so richtig? Ist dann ein Teil der Aufgabe

B

beendet so dass ich es nur noch für die Eckpunkte A und

B

machen muss?

CMAB

= (\begin{matrix} 5 \\ 2,5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 1.5 \\ 0 \end{matrix})

SCMAB

= \frac{2}{3} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 1.5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

S = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

S (4 | 3 | 0)

Respon

21:31 Uhr, 21.01.2019

S

ist korrekt.
Analog von A und

B

aus.

Und bei

c) -

gleiche Aufgabe, denk dir eigene Angaben aus.

Zhaya aktiv_icon

21:32 Uhr, 21.01.2019

Super, danke dir!

rundblick aktiv_icon

21:35 Uhr, 21.01.2019

.
Die Punkte

A (2 | - 1 | 2), B (8 | 6 | - 2), C (2 | 4 | 0)

bilden ein Dreieck.

Tipp, wie du deine Mittelpunkte kontrollieren kannst:

\to

die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke sind das arithmetische Mittel
.. aus den Koordinaten der Endpunkte der Strecke (versuche das vektoriell zu beweisen..)

also

: M_{A B} = (\frac{2 + 8}{2} | \frac{- 1 + 6}{2} | \frac{2 - 2}{2}) = (5 | 2,5 | 0)

kontrolliere deine beiden anderen Mittelpunkte nun selbst

und zu

b) :

" Berechnen Sie für jede Seitenhalbierende des Dreiecks ABC den Punkt

S,

der sie vom Eckpunkt aus gesehen im Verhältnis

2 : 1

teilt. "

also Beispiel:

.. Vektor-Ansatz .. (mit Ecke A und Seitenmitte

M_{B C} .

. wobei

O

der Ursprung)

\to

\vec{O S} = \vec{O A} + \frac{2}{3} \cdot \vec{A M_{B C}}

\Rightarrow S (4 / 3 / 0) .

. also

\vec{O S} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

usw..
.

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