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Vektorrechnung,Flächeninhalt,Ebene,Normalenvektor

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: eben, Flächeninhalt, Normalenvektor, Vektorraum, Vektorrechnung

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01:24 Uhr, 04.09.2011

hab eine Aufgabe zur Vektorrechnung. Aufgabenteil 1 und 2 hab ich gelöst, bei 3 bin ich mir irgendwie unsicher. Berichtigt mich bitte wenn was falsch ist.

Aufgabe:

Gegeben seinen die Vektoren

a = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

und

c = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Man bestimme:

1.Den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Spitzen dieser Vektoren gebildet wird
2.Eine Gleichung der Ebene, auf der die Spitzen der drei gegebenen Vektoren liegen
3.Einen Normalenvektor zu dieser Ebene mit Betrag 1.

Lösung:

1.

|axb| = Flächeinhalt eines Parrallelogramms, die hälfte davon ist ein Dreieck.

a=AB=b-a=

(\begin{matrix} 1 - 1 \\ 1 - 3 \\ 2 - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

b=AC=c-a=

(\begin{matrix} 0 - 1 \\ 1 - 3 \\ 2 - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

(\frac{1}{2})

|axb|

= \frac{1}{2} (\begin{matrix} (- 2 \cdot 1) - (1 \cdot - 2) \\ (1 \cdot - 1) - (0 \cdot 1) \\ (0 \cdot - 2) - (- 2 \cdot - 1) \end{matrix}) = \frac{1}{2} | (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) | = \frac{1}{2} \sqrt{0^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{5}

weiter mit 2.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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01:33 Uhr, 04.09.2011

Lösung zu 2.

- 1

. Ein beliebiger Punkt wird als Stützvektor verwendet, ich habe a gewählt

s =

= (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

- 2.Bilden von zwei Richtungsvektoren

r 1 =

= (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

r 2 =

= (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

- 3.Auf Lineare Abhängigkeit Prüfen

r 1 = X \cdot r 2

(\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) = X \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow X (\begin{matrix} \frac{0}{- 1} \\ - \frac{2}{- 2} \\ \frac{1}{1} \end{matrix})

kein Einheitliches

X,

daher Linear unabhängig

- 4

. In Ebenen Gleichung

E : x = s + λ r 1 + μ r 2

E : x = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

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01:38 Uhr, 04.09.2011

Hoffe das ich es bis hierhin richtig habe.

zu 3.

Ein Normalenvektor zu einer Ebene = Ein Vektor der (orthogonal) Senkrecht auf

E

steht

1. Als erstes muss man doch das Vektorprodukt/Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren errechnen?

n = (r 1) X (r 2),

das hatten wir ja schon in Punkt 1.

n = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix})

wie muss ich ab hier weitermachen?

prodomo aktiv_icon

09:48 Uhr, 04.09.2011

Damit der Normalemvektor die Länge 1 erreicht, muss er durch seinen Betrag geteilt werden. Der ist

\sqrt{5},

also alle Komponenten durch

\sqrt{5}

prodomo aktiv_icon

09:57 Uhr, 04.09.2011

Noch einige kleine Tricks, die manchmal schneller machen: die Prüfung auf lineare Unabhängigkeit kann entfallen, wenn du vorher das Kreuzprodukt rechnest. Wenn die Richtungsvektoren wirklich abhängig sind, müssen sie kollinear sein, dann wäre das Kreuzprodukt der Nullvektor.

Statt des Kreuzproduktes kannst du auch die Bedingung

\vec{n} \cdot \vec{a} = 0 \land \vec{n} \cdot \vec{b} = 0

verwenden, wenn du das Kreuzprodukt nicht sowieso schon ausgerechnet hast. Das gibt 2 Gleichungen mit 3 Variablen.

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16:51 Uhr, 04.09.2011

zu 3.

@prodomo

ist das Ergebniss der Aufgabe dann einfach

n = (\begin{matrix} \frac{0}{\sqrt{5}} \\ - \frac{1}{\sqrt{5}} \\ - \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix})

prodomo aktiv_icon

18:04 Uhr, 04.09.2011

Natürlich, oder schreibe ich Chinesisch ?

etechnik aktiv_icon

18:11 Uhr, 04.09.2011

Danke, also doch einfacher als gedacht!!

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