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Vereinfachung eines komplexen Bruches

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Tags: Bruch kürzen, Funktion

Caro11 aktiv_icon

14:27 Uhr, 05.06.2017

Hallo,

ich habe ein kleines Problem beim Kürzen eines komplexen Bruches. Der Ausgangsbruch sieht folgendermaßen aus:

Einnahmen=

((a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}}) \cdot (1 - t) \cdot (a - a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}}) + {(y \cdot (\frac{a - a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}} \cdot (1 - t)}{2}))}^{2}

Als Ergebnis nach Kürzung/Vereinfachung soll folgendes herauskommen:

Einnahmen=

\frac{a^{2} [1 - (1 - y^{2}) t]}{4 - (1 - t) y^{2}}

Leider komme ich, egal was ich versuche, nicht auf dieses Ergebnis. Kann mir evtl. einer weiterhelfen?

Ich danke den Rettern schon einmal im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

15:50 Uhr, 05.06.2017

.
schau mal genau nach:
könnte es sein , dass im Zähler des letzten Bruches vielleicht eine Klammer fehlt?

. .

. um

\to (a - a \cdot ...)

...

. und ganz nebenbei:

"Vereinfachung eines komplexen Bruches"

komplexe Zahlen ?
komplexe Brüche ?

Komplexe

...

. ?

nun denn..

Caro11 aktiv_icon

16:49 Uhr, 05.06.2017

Nein, dass müsste stimmen.

Allerdings war eine Klammer zu viel. Falls es zu Verwirrung führte, die Quadrierung bezieht sich nur auf den zweiten Teil. Daher eine Korrektur:

Einnahmen=

(a \cdot \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}}) \cdot (1 - t) \cdot (a - a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}}) + {(y \cdot (\frac{a - a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}} \cdot (1 - t)}{2}))}^{2}

Roman-22

17:14 Uhr, 05.06.2017

Ja, es war nur die erste Klammer zu viel und zwei Klammerpaare sind unnötig.
Aber das Ergebnis, welches du genannt hast, kommt dabei raus
Bild3

Um dir helfen zu können deine(n) Fehler zu finden, müsstest du allerdings deine Rechnung zeigen.

Caro11 aktiv_icon

18:36 Uhr, 05.06.2017

Schön zu hören, dass es auf jedenfall hinkommen soll :-)

Mein Problem ist, dass ich nicht den richtigen Ansatz finde.

Ein erster falscher Ansatz ist:

Einahmen=

a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}} \cdot (1 - t) \cdot (a - a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}}) + \frac{y^{2}}{4} (a - a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}} \cdot (1 - t)) (a - a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}} \cdot (1 - t))

Wollte beide Terme um

(1 - t) \cdot (a - a \frac{2 - y^{2}}{4 - (1 - t) y^{2}})

kürzen (mit Kehrwert multiplizieren), aber musste Feststellen, dass ich das ja gar nicht darf.

Bei einem zweiten Ansatz komme ich auch nicht so recht weiter:

\frac{a (2 - y^{2}) (1 - t)}{4 - (1 - t) y^{2}} \cdot \frac{a (4 - (1 - t) y^{2}) - a (2 - y^{2})}{4 - (1 - t) y^{2}} + \frac{y^{2}}{4} \cdot \frac{a (4 - (1 - t) y^{2}) - a (2 - y^{2}) (1 - t)}{4 - (1 - t) y^{2}} \cdot \frac{a (4 - (1 - t) y^{2}) - a (2 - y^{2}) (1 - t)}{4 - (1 - t) y^{2}}

Kannst du vielleicht einen Tipp geben, wie ich weiter komme?

Roman-22

21:30 Uhr, 05.06.2017

>

Bei einem zweiten Ansatz komme ich auch nicht so recht weiter:
Doch, aber es ist halt mühsam.
Die beiden Brüche. deren Summe du bilden sollst, haben doch schon fast den gleichen Nenner.
Der erst muss nur noch mit 4 erweitert werden um auf den gemeinsamen Nenner

4 \cdot {(4 - (1 - t) \cdot y^{2})}^{2}

gebracht zu werden.
Du kannst ja

a^{2}

bei beiden Brüchen ausklammern und dir der besseren Übersicht halber vorübergehend
anstelle von

(1 - t)

eine neue Variable

T

setzen und dann die Zähler ausrechnen und addieren.
EDIT: sehe gerade, dass das Erweitern des ersten Bruchs mit 4 gar nicht nötig ist, denn wenn man den zweiten Bruch erst mal
zusammenfasst, kann man die 4 kürzen und der zweite Bruch vereinfacht sich zu

\frac{a^{2} \cdot y^{2} \cdot {(2 - T)}^{2}}{{(4 - T \cdot y^{2})}^{2}}

.

Allerdings führt die Summe auf einen Ausdruck im Zähler, dem ich ohne mein schlaues Programm nicht gleich ansehen würde,
dass er sich hübsch zerlegen und der Bruch sich danach auch kürzen lässt.
Bild3

Wenn man die Ahnung/Hoffnung hat, der Ausdruck ließe sich kürzen, kann man natürlich (mit Erfolg)
eine Polynomdivision durch

(4 - T \cdot y^{2})

ansetzen.

Wenn man weiß/ahnt in welche Richtung die Reise gehen könnte, kann man sich den
Nenner natürlich schon auch so hinbiegen:
Bild4

Caro11 aktiv_icon

23:42 Uhr, 05.06.2017

Super, vielen Dank. Das war der Schlüsselhinweis der mir fehlte. Jetzt habe ich es endlich hinbekommen.

Für das nächste mal: Welches von dir erwähnte Programm verwendest du?

Roman-22

01:26 Uhr, 06.06.2017

Ich verwende Mathcad

15

.
Aus Gewohnheit und auch wegen einiger anderer Vorzüge, wie dem gutem Umgang mit Einheiten und dem Whiteboard-Interface.
Gerade im Bereich der symbolischen Rechnung liegt das Programm aber ziemlich abgeschlagen hinter Maple und Mathematica (und auch hinter Matlab).

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