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Vertauschung von Gradient und Integral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

smoka

17:57 Uhr, 06.02.2011

Hallo,

ich bin gerade in einem Physikbuch über etwas gestolpert, das mich verwirrt.
die elektrische Feldstärke einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ist gegeben durch:

\vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int d^{3} r ʹ ρ (\vec{r} ʹ) \frac{\vec{r} - \vec{r} ʹ}{∣ \vec{r} - \vec{r} ʹ ∣^{3}}

jetzt wird das umgeschrieben mit:

\frac{\vec{r} - \vec{r} ʹ}{∣ \vec{r} - \vec{r} ʹ ∣^{3}} = - \nabla \frac{1}{∣ \vec{r} - \vec{r} ʹ ∣}

folgt dann:

\vec{E} (\vec{r}) = - \nabla \frac{1}{4 π ε_{0}} \int d^{3} r ʹ \frac{ρ (\vec{r} ʹ)}{∣ \vec{r} - \vec{r} ʹ ∣^{3}}

so, jetzt wurde hier also einfach mal Gradientenbildung und Integration vertauscht. Geht das immer? Auf welchem Satz beruht das Ganze?

Gruß,

smoka

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Sina86

22:29 Uhr, 06.02.2011

Hi,

soweit ich weiß, gibt es für diesen Satz keinen besonderen Namen, steht aber in jedem Analysis-Buch. Ich würde es mal mit dem Forster probieren.

Soweit ich mich erinnere genügt dafür die stetige Diff´barkeit der Funktion nach den betroffenen Variablen (hier also nach

x, y

und

z

). Dann sollte es kein Problem geben.

Lieben Gruß
Sina

smoka

22:46 Uhr, 07.02.2011

Hi Sina,

danke für die Antwort. Leider bin ich in der mir zur Verfügung stehenden Lektüre nicht fündig geworden. Kennt jemand ein Buch (und evtl. die Stelle :-)), in dem der entsprechende Satz steht? ich wär auch mit nem Link o.ä. zufrieden. Ich bin weder bei Wiki noch sonst fündig geworden und ich weiß auch nicht wirklich nach was ich suchen soll.

Gruß,

smoka

OmegaPirat

01:18 Uhr, 08.02.2011

Hallo
Spontan würde ich einfach sagen, dass das für eine Dimension etwa so aussieht.

g (y) = \int_{a}^{b} f (x, y) d x

\frac{d g (y)}{d y} = \frac{d}{d y} \int_{a}^{b} f (x, y) d x

Für den Differenzenquotienten erhält man

\frac{g (y + h) - g (y)}{h} = \int_{a}^{b} \frac{f (x, y + h) - f (x, y)}{h} d x

Wegen der Linearität des Integrals konnte ich alles ins Integral ziehen
Jetzt könnte ich den Limes bilden, was ich aber nicht mache, weil ich dann die Vertauschung von Limes und Integration rechtfertigen müsste. Stattdessen benutze ich zunächst für den ausdruck im Integral den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Das heißt es existiert ein

ξ,

so dass

f' (x, ξ) = \frac{f (x, y + h) - f (x, y)}{h}

mit

ξ \in [y, y + h]

\Rightarrow \frac{g (y + h) - g (y)}{h} = \int_{a}^{b} f' (x, ξ) d x

Lasse ich nun das

h

auf der linken Seite sehr klein werden, nähert sich diese Seite der Ableitung an. Auf der rechten Seite wähle ich

h = 0

und fest.
Dann gilt

ξ = y

\Rightarrow g' (y) = \int_{a}^{b} f' (x, y) d x

Das war zu zeigen. Zu beachten ist, dass der Mittelwertsatz nur für stetig differenzierbare Funktionen gilt. Folglich muss der betrachte Integrad über de Integrationsintervall stetig differenzierbar sein, wobei es sogar genügt, wenn der Integrand an den Rändern des Integrationsintervalls nur stetig ist.

Die Verallgemeinerung auf die dritte Dimension sollte evident sein.

Edit: Mir fiel grad auf, dass eine deiner Gleichungen nicht stimmt. Das Potential im Nabla geht mit

\frac{1}{r}

und nicht

\frac{1}{r^{3}}

.

Ich als angehender Physiker habe es mittlerweile aufgegeben alle mathematischen Aspekte genauer zu durchleuchten. Spätestens wenn dann in der Elektrodynamik noch die Funktionentheorie, Greenfunktionen, diverse partielle Differentialgleichungen etc. hinzukommen, nimmt man gewisse intuitive Operationen einfach hin und ignoriert die ganzen mathematischen Auswüchse dazu.

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