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Volumenintegral eines hyperbolischen Paraboloids

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: hyperbolisches Paraboloid, Integration, volum

Integralchen

18:36 Uhr, 22.11.2012

Einen schönen Abend :-)

Ich hätte eine Frage, zu der ich leider bis jetzt noch keine Antwort gefunden habe... ich hoffe ihr könnt mir helfen ;-)

Wir sollen das Volumenintegral eines hyperbolischen Paraboloids der Gleichung

z = x \cdot y

über einer Kugel mit Radius 1 bestimmen, also

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1,

wobei

x, y \geq 0

.

Ich habe das ganze in zwei Teile aufgeteilt, nämlich einer Achtelkugel, und einer Achtelkugel, bei dem der Teil, der oberhalb des Paraboloids liegt, "weggelassen" wird. Und genau bei diesem Teilvolumen bin ich mir nicht sicher, da es für hyperbolische Paraboloide keinerlei Formeln zu finden gibt.

Ich dachte, ich rechne das alles in Zylinderkoordinaten, da es dann leichter wird. Der Radius läuft dann von 0 bis eins,

φ

von 0 bis

\frac{π}{2}

(90°), und

z

von 0 bis

x \cdot y

. Da

x

in Zylinderkoordinaten ja

ρ \cdot cos (φ)

und

y

gleich

ρ \cdot sin (φ),

läuft

z

von 0 bis

{(ρ)}^{2} \cdot sin (φ) \cdot cos (φ)

. Entsprechende Jakobideterminante für Zylinderkoordinaten, also

ρ,

nicht vergessen und ich würde das Volumen dann ausrechen durch

\int_{0}^{\frac{π}{2}} d φ \int_{0}^{1} ρ d ρ \int_{0}^{{(ρ)}^{2} \cdot cos (φ) \cdot sin (φ)} d z

Wäre der Ansatz richtig? Insgesamt komme ich dann nämlich auf ein Volumen von

\frac{1}{8},

was mir recht wenig erscheint...

: (

Wäre dankbar für Anmerkungen!

Lg,
Integralchen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

lepton

00:02 Uhr, 23.11.2012

Du hast doch einfach ein Skalarfeld (hyperbolisches Paraboloid:

z = f (x, y) = x y

), welches über die Kugel K mit R=1 integriert werden soll. Also würde ich doch einfach die Kugelkoordinaten nehmen.

pwmeyer aktiv_icon

07:28 Uhr, 23.11.2012

Hallo,

ich glaube, die Aufgabe ist noch nicht klar: Geht es um die Berechnung des Volumens des Körpers, der durch das angegebene Paraboloid aus der Kugel ausgeschnitten wird oder um den Restkörper. Oder geht es um die Berechnung eines Integrals der Funktion

f (x, y, z) = x \cdot y

über die Kugel?

Gruß pwm

Integralchen

18:00 Uhr, 23.11.2012

Also mit Kugelkoordinaten hatte ich es schon versucht, bin allerdings am

θ

gescheitert. Das würde ja von

π

bis arccos(z/rho) laufen, aber über

z

wird ja nicht integriert, das fällt dann also nicht weg... Auch wenn ich

z

als

ρ^{2} \cdot {sin (θ)}^{2} \cdot cos (φ) \cdot sin (φ)

schreiben würde, krieg ich noch ein

θ

rein, obwohl ich schon über diesem Winkel integriert habe.

Wir sollen das Volumenintegral der Funktion

F (x, y) = x \cdot y

über das Volumen mit

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1

integrieren, wobei

x, y \geq 0

sein sollen. Das bedeutet doch, dass man aus der Kugel im Quadranten von positivem

x

und

y

den Teil über der Funktion

x \cdot y

rausschneidet und das Volumen des restlichen Körpers berechnet, oder hab ich da jetzt wieder einen dummen Denkfehler...?

: (

Vermutlich ist es so...

Lg

pwmeyer aktiv_icon

08:05 Uhr, 24.11.2012

Hallo,

kein Denkfehler, aber ein Verständnis- oder Terminologieproblem. Poste doch mal den Originaltext.

Gruß pwm

Integralchen

11:19 Uhr, 24.11.2012

Die genaue Aufgabenstellung hatte ich oben eig. schon geschrieben ;-)

"Berechnen Sie das Volumenintegral der Funktion

F (x, y) = x \cdot y

über das Volumen mit

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1,

wobei

x, y \geq

0."

Lg :-)

pwmeyer aktiv_icon

11:41 Uhr, 24.11.2012

Ok, dann ist die Aufgabe formal falsch formuliert: Es müsste heißen:

Berechnen Sie das Volumenintegral der Funktion F(x,y,z)=x⋅y über das Volumen mit

x^{2} + y^{2} + z^{2}

≤1, wobei

x

,y≥ 0.

Wenn der Körper

(x^{2} + y^{2} + z^{2}

≤1, wobei

x

,y≥

0),

also ein Kugeloktant, mit

K

bezeichnet wird, ist folgendes Integral zu berechnen:

\int \int \int_{K} x \cdot y d (x, y, z)

.

Jetzt musst Du Dich für ein Koordinatensystem entscheiden und

K

damit beschreiben,

z . b

. in kartesischen Koordinaten:

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq \sqrt{1 - x^{2}}, - \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \leq z \leq \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

Oder möchtest ein anderes nehmen?

Gruß pwm

Integralchen

13:48 Uhr, 24.11.2012

Ah, vielen Dank für den Hinweis wegen der falschen Aufgabenformulierung... :-)

Also ich hatte mich deswegen gegen kartesische Koordinaten entschieden, da dort die Integrationsgrenzen durch die Wurzeln sehr kompliziert werden, und das Integrieren dann sehr aufwendig wird.

Ich hatte dann an Kugelkoordinaten gedacht, da sich eine Kugel dort ja am leichtesten darstellen lässt ;-)

. .

.

Das Kugelvolumen lässt sich in Kugelkoordinaten darstellen als

\int_{0}^{1} ρ^{2} d ρ \int_{0}^{2 \cdot π} d φ \int_{0}^{π} sin (θ) d θ

.
Muss ich dann einfach

x \cdot y

in Kugelkoordinaten ausdrücken, also

ρ^{2} \cdot {(cos (θ))}^{2} \cdot cos (φ) \cdot sin (φ)

und in die Formel für das Kugelvolumen einsetzen, oder?

\frac{:}{}

Also ich hoffe ich stelle mich da jetzt nicht zu sehr an... :-)

Lg und schon mal danke für die Hilfe!

Lg

lepton

14:09 Uhr, 24.11.2012

Ja, du kannst das in das Volumenintegral einsetzen, den es gilt ja, wie schon zuvor angegeben,

\int_{R^{3}} f (x, y, z) d V

. Außerdem wären hier natürlich die Kugelkoordinaten von Vorteil. Warum nimmst du in deiner Transformation statt

r

eigentlich

ρ

? Das erweckt den Eindruck als hätte man hier Zylinderkoordinaten.
Hinweis: Bedenke daran, dass dadurch

x, y, z > = 0

gilt, wird der Definitionsbereich deiner Parametrisierung eingeschränkt. Deine Grenzen, die du angegeben hast, gilt für die volle Einheitskugel!

Integralchen

17:34 Uhr, 24.11.2012

Aaaa, stimmt ja, ich war wirklich blind ;-) Ich hab mal wieder viel zu kompliziert gedacht gehabt^^ :-) Das Integral war dann doch leicht zu lösen :-)

(Φ

geht natürlich von 0 bis

\frac{π}{2})

Oh, und das wegen dem

ρ

tut mir leid, ich werfe gerne noch

ρ

und

r

durcheinander. :-)

Herzlichen Dank an euch beide!!

Lg

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