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Wahrscheinlichkeit beim Werfen von 3 Würfeln

Universität / Fachhochschule

Tags: Wahrscheinlichkeit, Würfel

ReNiBo aktiv_icon

14:33 Uhr, 23.11.2023

Es wird mit drei Würfeln geworfen:

(a)

Wie groß ist beim Werfen der drei Würfel die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl sechs dabei ist und die drei geworfenen Augenzahlen alle voneinander verschieden sind.

(b)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl sechs dabei ist, unter der Bedingung, dass die drei geworfenen Augenzahlen alle voneinander verschieden sind.

(c)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle verschieden sind, unter der Bedingung, dass genau ein Würfel eine sechs zeigt.

(d)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle verschieden sind, unter der Bedingung, dass mind. ein Würfel eine sechs zeigt.

Kann mir jemand den Unterschied zwischen den Aufgaben erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

KL700 aktiv_icon

14:49 Uhr, 23.11.2023

a) \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot 3!

b)

Satz von Bayes, alle Möglichkeiten:

6 \cdot 5 \cdot 4 \to P = \frac{120}{6^{3}}

P (A | B) = . .

.

Das sollte weiterhelfen.

d)

Verwende das Gegenereignis für die Bedingung.

HAL9000

17:47 Uhr, 23.11.2023

@KL700

a) Die Multiplikation mit

3!

ist falsch, dort sollte nur Faktor 3 stehen (für die Anzahl der möglichen Positionen der 6).

ReNiBo aktiv_icon

18:38 Uhr, 23.11.2023

Was ergibt denn

B

bedingt durch A bzw. wie berechne ich das? Das brauche ich ja um A bedingt durch

B

zu berechnen (Satz von Bayes)

Bisherige Überlegung:

A =

„die Augenzahl sechs wird gewürfelt“

P (A) = \frac{1}{6}

B =

„die drei geworfenen Augenzahlen sind alle voneinander verschieden“

P (B) = \frac{6}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{5}{9}

pivot aktiv_icon

12:54 Uhr, 24.11.2023

Hallo,

wenn du bei der b) bist, dann solltest du überlegen was gefragt ist. Es sind 3 verschiedene Augenzahlen bei 3 Würfeln, also

a b c

. Das ist die Bedingung. Von hier aus musst du die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass die Augenzahl sechs dabei ist.
Ich präzisiere mal: Es muss somit

genau

einmal die Augenzahl sechs dabei sein.

a = 6

: Die Wahrscheinlichkeit für

a = 6

ist

\frac{1}{6}

. Die Wahrscheinlichkeit für

b \neq a

ist

\frac{1}{5}

. Und die Wahrscheinlichkeit für

c \neq a

und

c \neq b

ist

\frac{1}{4}

. Das macht insgesamt eine Wahrscheinlichkeit von

\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}

Jetzt kann aber auch b oder c gleich 6 sein. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten sind genauso hoch wie bei

a = 6

. Somit muss die obige Wahrscheinlichkeit nur mit 3 multipliziert werden.

3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{40}

Gruß
pivot

HAL9000

13:18 Uhr, 24.11.2023

Ich versuch mal, alle vier Teilaufgaben auf einer gemeinsamen Grundlage anzugehen:

Wir befinden uns in dem Laplaceschen W-Raum mit Grundmenge

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{3}

und betrachten die drei Ereignisse

A

... die drei geworfenen Augenzahlen sind paarweise verschieden

B

... unter den drei geworfenen Augenzahlen ist mindestens eine Sechs .

C

... unter den drei geworfenen Augenzahlen ist genau eine Sechs .

Gesucht sind nun

(a)

P (A \cap B)

(b)

P (B ∣ A)

(c)

P (A ∣ C)

(d)

P (A ∣ B)

Zur Lösung: Anzumerken ist

A \cap B = A \cap C

, d.h. mit zusätzlicher Bedingung, dass alle drei Augenzahlen verschieden sind ist Anzahl Sechs

\geq 1

gleichbedeutend mit Anzahl Sechs

= 1

.

(a) Hat KL700 oben gerechnet, bis auf den Fehler mit dem Faktor, d.h., es ist

P (A \cap B) = 3 \cdot \frac{1 \cdot 5 \cdot 4}{6^{3}} = \frac{5}{18}

.

(b) Mit

P (A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6^{3}} = \frac{5}{9}

folgt

P (B ∣ A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{1}{2}

.

(c) Mit

P (C) = \frac{3 \cdot 5^{2}}{6^{3}} = \frac{25}{72}

folgt

P (A ∣ C) = \frac{P (A \cap C)}{P (C)} = \frac{4}{5}

.

(d) Mit

P (B) = 1 - \frac{5^{3}}{6^{3}} = \frac{91}{216}

folgt

P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{60}{91}

ReNiBo aktiv_icon

12:23 Uhr, 27.11.2023

Eine Frage bleibt noch: Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten

P (A

∩

B)

und

P (A

∩

C)

HAL9000

13:08 Uhr, 27.11.2023

Ist in (a) berechnet. Benötigst du noch eine nähere Erklärung (über die von KL700 hinaus)?

3 steht für die Anzahl der möglichen Positionen für die eine gewürfelte Sechs. Auf den restlichen beiden Positionen haben wir für die erste der beiden Augenzahlen 5 Möglichkeiten, für die zweite dann noch 4 Möglichkeiten. Also

3 \cdot 5 \cdot 4

günstige Varianten von insgesamt

6^{3}

Wurfmöglichkeiten.

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