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Warum gilt der Satz von Schwarz nicht?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Satz von Schwarz, Stetigkeit

Melonhat aktiv_icon

01:40 Uhr, 07.12.2024

Hallo zusammen, ich habe versucht einem Komillitonen Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen zu erklären. Wir kamen dann zu dieser Aufgabe und ich habe mittlerweile irgendwie das Gefühl, es selbst nicht ganz verstanden zu haben.
Ich versuche meinen gesamten Rechenweg ausführlich zu dokumentieren:
Die Aufgabe ist als Bild angehängt.
Den Abschnitt für alle (x,y) außer 0 habe ich als

g (x, y) := \frac{2 x y (x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}

definiert
Zunächst habe ich die Funktion f einmal auf Stetigkeit untersucht.
Das tue ich mithilfe der Koordinatentransformation ins Polarkoordinatensystem

lim_{(x, y) \to (0, 0)} f (x, y) = lim_{r \to 0} f (r, c o s φ) = lim_{r \to 0} \frac{2 r^{2} c o s φ s i n φ (r ² (c o s^{2} φ - s i n^{2} φ))}{r^{2} (c o s^{2} φ + s i n^{2} φ)}

= lim_{r \to 0} 2 r^{2} (c o s φ s i n φ (c o s^{2} φ - s i n^{2} φ)) = 0

Die Funktion ist also stetig an der Stelle (0,0), und da g eine Verknüpfung stetiger Funktionen für

(x, y) \neq (0, 0)

ist, ist f auf ganz

ℝ^{2}

stetig.

Bestimmen wir nun die partiellen Ableitungen:
Ich habe alle partiellen Ableitung mit einem Ableitungsrechner gegengerechnet, gehe also davon aus, dass sie korrekt sind.
Für alle

(x, y) \neq (0, 0)

ist die partielle Ableitung von f nach x erster Ordnung:

\frac{\partial g}{\partial x} (x, y) = \frac{2 y (x^{4} + 4 y^{2} x^{2} - y^{4})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

Bestimmen wir nun die partielle Ableitung von f nach x an der Stelle (0,0) mithilfe des Differentialquotienten:

lim_{h \to 0} \frac{f (0 + h, 0) - f (0, 0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0}{h^{4}} - 0}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0}{h^{5}}

Fünfmal L'Hôpital angewendet liefert:

lim_{h \to 0} \frac{0}{120} = 0

Analog nun die partielle Ableitung von f nach y an der Stelle (0,0):

\frac{\partial g}{\partial y} (x, y) = - \frac{2 x (y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4})}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}

lim_{h \to 0} \frac{f (0, 0 + h) - f (0, 0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0}{h^{5}} = 0

Nun erhalten wir dadurch den abschnittsweise definierten Gradienten:

\nabla f (x, y) = {\begin{array}{rcl} (\begin{array}{rcl} \frac{2 y (x^{4} + 4 y^{2} x^{2} - y^{4})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} \\ - \frac{2 x (y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4})}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} \end{array}), f a l l s (x, y)^{T} \neq (0, 0)^{T} \\ (0, 0)^{T}, f a l l s (x, y)^{T} = (0, 0)^{T} \end{array}

Nun habe ich untersucht, ob die partiellen Ableitungen jeweils stetig sind:
Für partielle Ableitung von f nach x (wieder mithilfe der Koordinatentransformation in Polarkoordinaten):

lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{2 y (x^{4} + 4 y^{2} x^{2} - y^{4})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = lim_{r \to 0} \frac{2 r^{5} s i n φ (c o s^{4} φ + 4 c o s^{2} φ s i n^{2} φ - s i n^{4} φ)}{r^{4}} = 0

Die partielle Ableitung von f nach x ist also stetig.
Analog wieder für die partielle Ableitung von f nach y:

lim_{(x, y) \to (0, 0)} - \frac{2 x (y^{4} + 4 x^{2} y^{2} - x^{4})}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} = 0

(über KT)
also ist auch die partielle Ableitung nach y stetig.
Beim Verfassen dieses Romans bin ich gerade vermutlich selbst auf die Lösung gekommen.
Ich kürze es daher ab hier ab und bitte nur darum meinen bisherigen Rechenweg und meine Gedanken dazu sowie die Lösung einmal kritisch zu beäugen:
In Aufgabe b) habe ich mit dem Differentialquotienten bei den partiellen Ableitungen zweiter Ordnung nach x,y und nach y,x 2 und -2 herausbekommen, wonach nach dem Satz von Schwarz mindestens eine der partiellen Ableitungen erster oder zweiter Ordnung nicht stetig sein darf.
Der Grund dieses Beitrags war, dass ich davon ausgegangen bin, dass eben alle stetig sind, hatte aber nur die dxdy und dydx berechnet.
für den Grenzwert der partiellen Ableitung von f nach y zweiter Ordnung gilt für die Folge

(\frac{1}{n}, \frac{1}{n})

mit

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = (0, 0)

\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} (x, y) = - \frac{8 y^{3} x (x^{2} - 3 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}

lim_{n \to \infty} \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} (\frac{1}{n}, \frac{1}{n}) = - 2

aber

lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y} (0, 0 + h) - \frac{\partial f}{\partial y} (0, 0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0}{h^{5}} = 0 \neq - 2

Danke an alle die sich die Zeit genommen haben, diesen Beitrag zu lesen.
Ich würde mich sehr darüber freuen auf Fehler, mathematische Ungenauigkeiten und falsche Ausdrücke hingewiesen zu werden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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17:13 Uhr, 07.12.2024

Einige Anmerkungen:
Die Funktion heißt f, ein g kommt gar nicht vor.
Stetigkeit von f ist nirgendwo gefragt (hab ich daher auch nicht geprüft).
Die part. DQen in (0,0) schreiben sich leicht, wenn man direkt f(0,h)=f(h,0)=0 benutzt, womit der DQ=0 wird und damit auch der Grenzwert. 5mal l'H ist falsch und auch nicht nötig, die konstante Nullfolge hat den Grenzwert 0, fertig.
Auch die allg. Stetigkeit der part. Abl. ist nicht gefragt.
Der entscheidende Punkt ist, dass die part. Abl. nicht alle überall stetig sind, was Du am Ende gezeigt hast (wobei ich auf

lim \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (h, h) = 2

für

h \to 0

komme).
Für den Grenzwert mit (0,h) gilt analog das oben gesagte ("schreiben sich leicht..."), und wenn schon umständlich, dann

h^{7}

im Nenner.

Melonhat aktiv_icon

18:55 Uhr, 07.12.2024

Danke für deine Antwort!
das g hatte ich oben definiert um mich auf den Abschnitt für alle (x,y) =/= (0,0) zu beziehen.
Eine Funktion muss zumindest Stückweise stetig sein, damit sie stückweise differenzierbar ist, richtig? für f diffbar in (0,0) brauchen wir doch also die Stetigkeit in (0,0).

Warum ist 5 mal l´H falsch? Zähler und nenner sind diffbare Funktionen und der GW von Zähler und Nenner ist jeweils 0. Ist vermutlich unnötig, aber doch nicht falsch oder?

Doch die Stetigkeit der partiellen Abl ist indirekt für c) gefragt. Auch hier gilt außerdem auch wieder, dass eine Funktion in (0,0) nur diffbar sein kann, wenn sie in (0,0) stetig ist?
Also benötigt man für die p. ABl zweiter Ordnung ebenfalls die stetigkeit der ersten.

mathadvisor aktiv_icon

19:12 Uhr, 07.12.2024

Zur Funktion g: Achso. Aber wenn Du auch bei g immer schreibst, für (x,y) ungleich (0,0), dann brauchst Du's nicht g zu nennen, sondern kannst bei f bleiben.
Eine differenzierbare Funktion ist (automatisch) stetig. Es reicht hier nur die Differenzierbarkeit zu prüfen.
L'H: Naja, falsch ist es nicht, aber wenn Du die konstante Nullfolge 0/h^5 5mal mit l'H behandelst, um dann (erstaunt?) feststellen, aha, Grenzwert ist 0, dann vermute ich dahinter ein grundlegendes Verständnisproblem (schon daraus, dass Du nicht direkt den Zähler des DQ als 0 ausgewertet hast).
Insb. wenn Du(!) jemand anderem(!) die Aufgabe erklärst, solltest Du das lassen und nicht mal erwähnen (genauso wie die Stetigkeit).
Es hilft genau das zu tun, was in der Aufgabe steht (insb. in der Klausur), nicht mehr und nicht weniger. Und nein, in c) ist nicht die Stetigkeit gefragt, auch nicht indirekt. Sondern die Unstetigkeit in (0,0).
Also: Deine Lösung lässt sich deutlich verkürzen. Dir kann's egal sein, aber so solltest Du es nicht anderen erklären.
Und noch was: Der Satz von Schwarz gilt natürlich, seit über 100 Jahren, das ändert sich auch mit dieser Aufgabe nicht. Er ist halt hier nur nicht anwendbar.

Melonhat aktiv_icon

20:06 Uhr, 07.12.2024

"Eine differenzierbare Funktion ist (automatisch) stetig" - klar, da stetigkeit vorraussgesetzt ist. Allerdings muss man bei abschnittsweise definierten Funktionen aufpassen.
Für

f = (2 x - 4

für

x \geq 2, 2 x + 8

für

x < 2)

ist

f

stückweise diffbar, da die einzelnen funktionen diffbar sind. Allerdings ist

f

offensichtlich nicht stetig, wenn ich also einfach die ableitungen angebe muss ich dennoch den kritischen punkt

x = 2

auf stetigkeit überprüfen. Sonst erhalte ich nämlich für

f' (x) = 2

und könnte davon ausgehen, dass

f'

stetig ist, bzw

f

diffbar auf ganz R.

Ich verstehe, dass

L' H

hier unnötig ist, danke für die klarstellung, dass es trotzdem nicht falsch ist.

Ja du hast recht, es hätte gereicht zu zeigen, dass eine der

p

.Ab.2.o nicht stetig ist.

Danke, anwendbar statt "nicht gelten", ergibt Sinn.

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21:00 Uhr, 07.12.2024

"stückweise differenzierbar" ist ja auch nicht "differenzierbar".
Du hast hier ja gezeigt: "f ist differenzierbar", und damit ist es auch stetig. Genauso für die Ableitungen im weiteren Verlauf.
Differenzierbare Funktionen sind automatisch stetig. Kannst Du bei wikipedia und an vielen anderen Stellen nachlesen. In der Def. der Differenzierbarkeit muss f nicht stetig sein. Letzteres folgt aber.

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