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Wert bestimmen für Schnittpunkt einer Geradenschar

Schüler , 12. Klassenstufe

Vektorräume

Tags: Gerade, Geradenschar, LGS, Schnittpunkt

ell3phant aktiv_icon

20:14 Uhr, 28.01.2015

Guten Abend liebe onlinemathe Community,
bin grad dabei für das anstehende Mathe Abi zu lernen und komme bei einer Aufgabe nicht weiter.
Also es ist eine Geradenschar ga:

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} a \\ 2 \\ 2 a \end{matrix})

und die Gerade

h : \vec{x} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})

gegeben.

Dazu die Aufgabe: Für welchen Wert von a schneiden sich die Geraden ga und h? Berechnen Sie ggf. den Schnittpunkt.

Zuerst habe ich die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt und bin auf das folgende Gleichungssystem gekommen:
I

a \cdot t = - 1 + 2 r

2 t = 1 + r

III

2 + 2 a t = - 2 + 3 r

Aus der 2. Zeile habe ich

t = 0,5 r + 0,5

rausbekommen. Das wollte ich nun in die erste Zeile

(I)

einfügen, jedoch stoße ich hier auf ein Problem.

t

in Zeile I eingefügt:

a (0,5 r + 0,5) = - 1 + 2 r

Dies habe ich kurz ausgeklammert:

0,5 a r + 0,5 a = - 1 + 2 r

jeodoch komme ich an diesem Punkt nicht mehr weiter, bin schon fast am Verzweifeln! Hoffe ihr könnt mir helfen:-) Vielen Dank im Voraus

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

21:07 Uhr, 28.01.2015

Vorschlag:

sortiere II nach

r .

. so

\to r = 2 t - 1

und setze das für

r \in I

und III ein

du wirst folgende zwei Gleichungen erhalten

\to

a t = 4 t - 3

2 a t = 6 t - 7

wie wirst du jetzt weitermachen ?

\to . .

.
.

ell3phant aktiv_icon

21:21 Uhr, 28.01.2015

Dann würde ich III mit I subtrahieren. Kann ich so vorgehen?

rundblick aktiv_icon

21:29 Uhr, 28.01.2015

hast du beim Ersetzen von

r

(mit

r = 2 t - 1)

diese beiden Gleichungen bekommen:

at=4t−3
2at=6t−7

ja?
dann also:

2at=8t−6
2at=6t−7

0 = 2 t + 1

\Rightarrow t =

\Rightarrow r =

\Rightarrow a =

?

usw (dann aber noch die Probe machen! könnte ja sein, dass ich mich verrechnet habe?)
.

ell3phant aktiv_icon

21:44 Uhr, 28.01.2015

Erstmal vielen Dank für die Hilfe!
Also ich komme da beim Rechnen am Ende auch auf

0 = 2 t + 1

.
Daraus schließe ich ja dass

t = - 0,5

sein muss, damit diese Aussage stimmt. Am Ende hab ich dann

r = - 2, t = - 0,5

und

a = 10

raus. Das müsste stimmen oder?:-) Vielen Dank nochmal!

rundblick aktiv_icon

21:52 Uhr, 28.01.2015

"
Am Ende

...

. (an welchem Ende?)

hab ich dann r=−2,t=−0,5 und

a = 10

Das müsste stimmen oder? "

\to

... ... ... ... ... ...

...

. JA - jedenfalls habe ich das auch so ..

aber es fehlt noch die Probe

und:

\to

welche Koordinaten hat dann der Schnittpunkt?
.

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