Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie beweise die folgenden Aufgaben?

Wie beweise die folgenden Aufgaben?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Herangehensweise, Lösung, Verständnisproblem, wenig_Zeit_vor_Abgabe

InfoStud123 aktiv_icon

14:32 Uhr, 24.10.2023

Ich habe noch kaum Zeit und komme kaum hinterher. Ich weiß nicht was

i d x

sein soll. Die letzten 2 Aufgaben habe ich noch nicht bearbeitet, aber bei der ersten habe ich euch zumindest aufgeschrieben, was ich bis jetzt gemacht habe. Ich habe Schwierigkeiten mit der Syntax und damit alles zu deuten. der Kringel steht für eine Komposition und die obigen Angaben für die Abbildugen. Ich meine zu wissen, dass man obiges auch als

f (x) = y

bzw.

g (y) = z

schreiben kann. was Injektivität bedeutet weiß ich auch. Das beweisen und schlussfolgern und syntaktisch richtige verfassen bereitet mir Schwierigkeiten. Ich habe meine kurzen Notizen mitbeigefügt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

HAL9000

14:36 Uhr, 24.10.2023

Deine Charakterisierung der Injektivität von Funktion

f : X \to Y

gemäß "Für genau ein

x \in X

gibt es genau ein

y \in Y

" ist Unsinn!

Richtig wäre "Für jedes

y \in Y

gibt es höchstens ein

x \in X

mit

f (x) = y

." oder aber auch "Aus

f (x_{1}) = f (x_{2})

folgt

x_{1} = x_{2}

InfoStud123 aktiv_icon

14:59 Uhr, 24.10.2023

Ich habe es mal angepasst, macht das sinn? Ist es vollständig?

HAL9000

15:22 Uhr, 24.10.2023

Genau genommen gibt es bei diesem Weg eine Fallunterscheidung:

Du hast den Fall diskutiert, dass es ein

y \in Y

gibt mit

g (y) = z

.

Man muss aber auch noch kurz über den Fall sprechen, dass es kein solches

y

gibt, in dem Fall kann es natürlich erst recht kein

x

geben mit

g (f (x)) = z

.

------------------------------

Nutzt man stattdessen die zweite von mir angegebene Injektivitäts-Charakterisierung, dann erspart man sich diese Fallunterscheidung.

InfoStud123 aktiv_icon

16:07 Uhr, 24.10.2023

Ich verstehe das irgendwie nicht wirklich. wenn es kein y für z gibt, gibt es auch kein x für z. Das schließ die Injektivität damit auch nicht aus und damit hat man dann alle nötigen Fallunterscheidungen?
Die Charakterisierung f(x1) = f(x2) -> x1 =x2 sagt aus, dass es halt nur ein x gibt, dass immer zum selben y führt?

Demnach schreibe ich jetzt bloß noch dazu, dass wenn kein y für z da ist, dass es auch kein x für z geben kann und somit immernoch Injektivität herrscht.

sry ich kann echt kein Mathe oder so :(

HJKweseleit aktiv_icon

20:22 Uhr, 24.10.2023

Es ist richtig, dass du dir Bildchen malst. Sie sollten aber nicht nur ein Element enthalten, weil man dann nicht alles erkennt.

Für (iii) habe ich dir mal so etwas aufgemalt.

Die schwarzen Linien sind zunächst Pfeile nach rechts für f. Jedes Element aus X bekommt genau einen Pfeil. In Y bekommt jedes Element höchstens einen Pfeil wegen der Injektivität. Es können aber Elemente übrig bleiben (rot), weil f nicht surjektiv sein muss.

h soll von Y nach X gehen. id bedeutet: Identität, d.h. id(x)=x für alle Elemente. Deshalb besteht h zunächst aus den schwarzen Linien, die einfach wieder nach X zurückgehen. Damit wird für alle x aus X: h(f(x))=x. Damit h eine Abbildung ist, müssen aber alle Elemente aus h, also auch die roten, einen Pfeil nach links bekommen. Aber h muss nicht injektiv sein, deshalb kannst du die roten h-Pfeile hinschicken, wo du willst.

Du definierst am einfachsten:
Sei a ein beliebiges, festes Element aus X. Dann gilt:

h(y) = x, falls f(x)=y, und sonst h(y)=a.

Zu deiner Bemerkung über dein Können: Wenn du schlechte Mathe-Noten in der Schule hattest, wirst du Probleme im Informatikstudium - nicht nur im Mathe-Teil - bekommen. Ansonsten: Dieses Mathegebiet ist sehr abstrakt, du sollst lernen, mit Abstraktem umzugehen und dies akribisch zu untersuchen. Es sorgt dafür, dass du demnächst genau arbeitest und nicht in irgendwelche Denkfallen tappst. Die Probleme, die du damit hast, hatten alle Mathestudenten!

InfoStud123 aktiv_icon

21:54 Uhr, 25.10.2023

1 y

aus der funktion

h

auf

x

abgebildet wird bzw denke ich, dass die Verkettung den Unterschied macht, dass jetzt gesagt wird alle und nicht mehr mindestens

1 y

werden wieder zurück auf dasselbe

x

abgebildet, wegen dem Idx.

Das heißt ja eventuell, wenn das Idx nicht da stehen würde, würden die

y

nicht mehr auf dasselbe

x

treffen, sondern auf irgendwelche. So ist es ja auch bei den

y,

die vorher nicht von

x

getroffen wurden.

Ich denke, ich habe verstanden, dass

h

eben mehrere Elemente

y

haben kann und diese müssen auf beliebige

x

zeigen, damit

h

eine Abbildung darstellt.

In der Aufgabe wird auch nicht definiert, ob

f

surjektiv ist,

d . h

. doch, dass dann auch die Möglichkeit besteht, dass einige

y

gar nicht getroffen werden, das hast du mit deiner Zeichnung eben nochmal visualisiert, verstehe ich das richtig?

Ebenfalls gibt es auch keine vorausgesetzte Surjektivität von

h : Y \to X

.

Ich frage mich ob du zusätzlich aufgrund der nicht definierten Surjektivität von

f

eben definiert hast, dass

h (y) = x,

falls

f (x) = y

und ja

h (y) = a

ist mir denke ich klar, denn Injektivität ist nicht vorausgesetzt und

h (y)

kann ein beliebiges

x

treffen.

Ich hoffe ich nerve nicht zu sehr, ich will es eigentlich wirklich nur gerne verstehen, auch wenn meine Abgabe schon erfolgt ist. Ich würde mich darüber freuen wenn du mir das sehr einfach erklären würdest.

HJKweseleit aktiv_icon

19:10 Uhr, 27.10.2023

Danke für die schöne Zeichnung, die hat schon mal geholfen!

Ich will noch einige Fragen zum erarbeiten meines Verständnisses stellen.

Ich frage mich zum einen, ob das h°f überhaupt irgendwas tut, denn es war schon definiert, dass mindestens 1y aus der funktion h auf x abgebildet wird bzw denke ich, dass die Verkettung den Unterschied macht, dass jetzt gesagt wird alle und nicht mehr mindestens 1y werden wieder zurück auf dasselbe x abgebildet, wegen dem Idx.
-------------------------------

h°f bedeutet: Es ist eine Funktion, bei der für alle x gilt: (h°f)(x)=h(f(x)). Das Linke ist eine Abkürzung für das Rechte, wobei man das (x) nicht immer mitschleppen will.

Beispiele:

g = sin°

\sqrt{}

ist eine Abkürzung für g(x)=sin(

\sqrt{x})

f(x) =

x^{3}

und g(x) =

x^{4} + 2 x + 3

führt zu (f°g)(x) = f(g(x)) = (

x^{4} + 2 x + 3)^{3}

--------------------------------------

Das heißt ja eventuell, wenn das Idx nicht da stehen würde, würden die y nicht mehr auf dasselbe x treffen, sondern auf irgendwelche. So ist es ja auch bei den y, die vorher nicht von x getroffen wurden.

--------------------------------------

Ja, weil ja zunächst h beliebig ist. Es soll aber so bestimmt werden, dass eben h°f = id ist. Darum müssen die schwarzen Pfeile zum Absender zurückgehen.
Du beweist, dass solch ein h existiert, indem du es angibst. Es gibt mehrere h, die das erfüllen, wenn f nicht surjektiv ist, aber es reicht, eines davon anzugeben. Die roten Pfeile könnten auch von rechts nach links auf beliebige andere Elemente fallen, sie müssen nur vorhanden sein, da h sonst keine Abbildung von Y ist.

----------------------------------------

Ich denke, ich habe verstanden, dass h eben mehrere Elemente y haben kann und diese müssen auf beliebige x zeigen, damit h eine Abbildung darstellt.

In der Aufgabe wird auch nicht definiert, ob f surjektiv ist, d.h. doch, dass dann auch die Möglichkeit besteht, dass einige y gar nicht getroffen werden, das hast du mit deiner Zeichnung eben nochmal visualisiert, verstehe ich das richtig?

-------------
Ja
-------------

Ebenfalls gibt es auch keine vorausgesetzte Surjektivität von h:Y→X.

------------
Falsch, wenn du id erhalten willst!

Von jedem x in X geht genau ein Pfeil aus. Diese Pfeile gehst du mit h zurück, sonst bekommst du nicht id. Heißt somit, dass jedes x seinen eigenen Pfeil zurückbekommt, und damit sind alle x-e abgedeckt und h ist surjektiv.

----------------------

Ich frage mich ob du zusätzlich aufgrund der nicht definierten Surjektivität von f eben definiert hast, dass h(y)=x, falls f(x)=y und ja h(y)=a ist mir denke ich klar, denn Injektivität ist nicht vorausgesetzt und h(y) kann ein beliebiges x treffen.

--------------------
Ja. Nur die schwarzen Punkte in Y sind "verpflichtet", ihre Pfeile an den Absender zurückzuschicken, damit id entsteht. Die roten Punkte haben keine schwarzen Pfeile abgekriegt, müssen aber auch mit Pfeilen "versorgt" werden, damit h eine Abbildung ist (alle Elemente müssen einen Pfeil aussenden). Wo du die roten Pfeile hinschickst, ist egal. Du darfst aber nicht vergessen, sie zu erwähnen, sonst ist h unvollständig und keine Abbildung.

-------------------
Ich hoffe ich nerve nicht zu sehr, ich will es eigentlich wirklich nur gerne verstehen, auch wenn meine Abgabe schon erfolgt ist. Ich würde mich darüber freuen wenn du mir das sehr einfach erklären würdest.
-----------------------

Wenn du noch Fragen hast: gerne. Ich komme nur nicht immer sofort dazu, sie zu beantworten.

Hinweis: f°h kann für mein Bild niemals id werden, nur h°f. h muss ja für alle Punkte einen Pfeil absenden, in X gibt es aber weniger Elemente, so dass einige mehr als einen Pfeil abkriegen. Von X aus darfst du aber nur jeweils einen Pfeil zurücksenden, das andere Element kriegt dann keinen Umkehrpfeil ab.

Beispiel:
X =

ℝ, Y = ℝ^{\geq 0},

f(x) = x^2.

Es ist f(1) = 1 und f(-1) = 1. Was soll jetzt h(1) sein, damit id herauskommt? Für h(1) = 1 gibt es id(-1) nicht, für h(1) = -1 gibt es id(1) nicht.

Aber:
X =

ℝ^{\geq 0}, Y = ℝ^{\geq 0},

f(x) = x^2.

Jetzt enthält X keine negativen Zahlen mehr, f ist injektiv, h(1)=1, id(x)=x.

Ich hoffe, du hast erkannt, wie hilfreich solch ein Bild ist und dass du ohne solch ein Bild meine ganze Argumentation kaum verstehen könntest. Andere haben vielleicht solch ein Bild sofort im Kopf, auf Dauer wird dir das auch gelingen.

InfoStud123 aktiv_icon

00:00 Uhr, 29.10.2023

Hey
HJKweseleit

Ich denke ich habe alles verstanden bis zu deinem letzten Bsp. Da habe ich mal etwas gezeichnet, Wenn

R

auf

R

abbildet mit

f (x) = x^{2},

kann es auch nicht mehr Idx werden richtig, denn dann würde die Definition einer Abbildung verletzt?
Im Prinzip ist das dasselbe Bsp, dass du schon gebracht hast nur nochmal ein mini Kontextwandel.

Ich danke dir sehr für deine Zeit und deinen Umgangston!!!

HJKweseleit aktiv_icon

15:47 Uhr, 29.10.2023

Bild links oben: alles korrekt.

Bild rechts: Die 4 bei X muss

\sqrt{2}

heißen, weil du ja von links nach rechts quadrierst. Die Pfeile sind richtig.

Bild links unten: Der Pfeil von 1 auf 1 kann von rechts nicht zurückgeführt werden, denn rechts kommen bei 1 zwei Pfeile an. Du kannst natürlich sagen, dass h(x) =

\sqrt{x}

ist oder h(x)=

\sqrt{∣ x ∣}

und damit einen positiven Wert hat. Dann ist h(f(1))= 1, aber auch h(f(-1))= 1 und nicht h(f(-1))= -1, also ist dann h°f nicht id.

Damit eine Funktion f mit Hilfe einer anderen h durch h°f zu id werden kann, muss f injektiv sein.

x^{2}

ist nicht injektiv für X=

ℝ

, da z.B. f(1)=f(-1) ist.

InfoStud123 aktiv_icon

15:58 Uhr, 29.10.2023

danke dir!

1577581

1577291

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?