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Wie ln abschätzen?

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Tags: Funktion

Phil-Smith aktiv_icon

20:24 Uhr, 31.08.2016

Hallo!
Ich komme bei einer Aufgabe nicht ganz auf die Lösung.
Ich soll zeigen, dass ein Ausdruck kleiner ist als 0.008.
Ich habe die Aufgabe soweit gelöst, dass nur noch der folgende Ausdruck da steht.

∣ \frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{4 \ln (3)}{3} - \frac{7}{18} ∣

Das ist auf jeden Fall das richtige Ergebnis, aber in der kommenden Klausur werde ich für sowas keinen Taschenrechner gebrauchen dürfen.
Wie kann ich hier elegant abschätzen (gerade was

\ln (2)

und

\ln (3)

angeht), so dass ich dass ich im Kopf zeigen kann, dass tatsächlich

∣ \frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{4 \ln (3)}{3} - \frac{7}{18} ∣ < 0.008

gilt?

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

07:14 Uhr, 01.09.2016

Nutze den Mittelwertsatz, um

2 \ln (2) - \ln (3) = \ln (4) - \ln (3)

abzuschätzen.
de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung

DrBoogie aktiv_icon

09:01 Uhr, 01.09.2016

Obwohl, so ist nur die Genauigkeit von

\frac{1}{18}

zu erreichen.

0.008

ohne Taschenrechner sieht für mich sehr sportlich aus.
Zwar kann man mit dem Mittelwertsatz

\ln (2) - 0.5 \ln (3) = \ln (2) - \ln (\sqrt{3})

durch

\frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \approx 0.155

von oben und

\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \approx 0.134

von unten abschätzen, womit man dann auf die Genauigkeit von ca.

0.025

am Ende kommt. Aber das geht schon schwer ohne Taschenrechner, und man kommt trotzdem nicht auf

0.008

.

Vermutlich reicht der Mittelwertsatz nicht und man braucht den Taylor mit dem Restglied.

Phil-Smith aktiv_icon

10:20 Uhr, 01.09.2016

Danke schon mal für die Antwort.
Die Lösung wird wohl heute in der Uni besprochen. Dann schreib ich mal rein wie die sich das vorgestellt hatten.
Viele Grüße

Atlantik aktiv_icon

16:22 Uhr, 01.09.2016

Ist dieser Weg auch gangbar?

| \frac{8}{3} ln (2) - \frac{4}{3} ln (3) - \frac{7}{18} | < 0,008

| \frac{4}{3} ln (4) - \frac{4}{3} ln (3) - \frac{7}{18} | < 0,008

| \frac{4}{3} [ln (4) - ln (3)] - \frac{7}{18} | < 0,008

\sqrt{{(\frac{4}{3} [ln (4) - ln (3)] - \frac{7}{18})}^{2}} < 0,008 |^{2}

{(\frac{4}{3} [ln (\frac{4}{3})] - \frac{7}{18})}^{2} < 0,000064

\frac{4}{3} [ln (\frac{4}{3})] - \frac{7}{18} < \pm \sqrt{0,000064}

\frac{4}{3} [ln (\frac{4}{3})] - \frac{7}{18} < \pm 0,008

1 .) \frac{4}{3} \cdot ln (\frac{4}{3}) < \frac{7}{18} + 0,008 \approx 0,4

ln (\frac{4}{3}) < \approx \frac{1}{30}

\frac{4}{3} < \approx e^{\frac{1}{30}}

2 .) \frac{4}{3} \cdot ln (\frac{4}{3}) < \frac{7}{18} - 0,008 \approx 0,4

ln (\frac{4}{3}) > \approx \frac{1}{30}

\frac{4}{3} > \approx e^{\frac{1}{30}}

mfG

Atlantik

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