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Wie löse ich Extremwertaufgabe?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Extremwertaufgabe, Funktion

kleineSchwedin aktiv_icon

15:44 Uhr, 19.08.2010

Hallo,

habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme, hoffe es kann jemand helfen.

Aufgabe:

An einer

18 m

langen Hausmauer soll mit insgesamt

90 m

Zaun ein möglichst großes rechteckiges Gehege eingezäunt werden (Entlang der Mauer kein Zaun). Wie sind Länge und Breite des Geheges zu wählen? Was wäre wenn man nur

50 m

Zaun hat?

Meine Lösungsänsätze:

Zaun:

x + 2 y

F (x) = x \cdot y

2 y + x = 90 \to y = \frac{90 - x}{2}

F (x) = x \cdot \frac{90 - x}{2} = - \frac{1}{2}

x²+45x

bis hierhein richtig?, wie geht es weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Rabanus aktiv_icon

16:17 Uhr, 19.08.2010

"Meine Lösungsänsätze:

Zaun:

x + 2 y

F(x)=x⋅y"

sind schon nicht geeignet, das Problem zu beschreiben !

Die gegebene Wandlänge

x_{0} = 18 m

kann ja auch mit dem Zaun verlängert werden !

Es ist also anzusetzen:

x + 2 y = L

F (x, y) = (x_{0} + x) y =

Max

Servus

kleineSchwedin aktiv_icon

17:42 Uhr, 19.08.2010

Es ist also anzusetzen:

x + 2 y = L

\to

muss denn hier nicht auch die Wand

(18 m)

berücksichtigt werden?

falls nicht müsste es doch so weiter gehen oder?

90 = x + 2 y

\to y = \frac{90 - x}{2}

und das dann einsetzten in:

F (x) = (18 + x) \cdot y

F (x) = (18 + x) \cdot 45 - \frac{x}{2}

= -x²/2

+ 36 x + 810

=x²

- 72 x - 1620

\to x = 36 (\frac{+}{-}) \sqrt{1296} + 1620

x 1 = 90

und

x 2 =

negativ, wird nicht berücksichtigt

\to

aber hier kann doch was nicht stimmer, wo ist der Fehler

Rabanus aktiv_icon

18:16 Uhr, 19.08.2010

"Es ist also anzusetzen:

x + 2 y = L

→ muss denn hier nicht auch die Wand

(18 m)

berücksichtigt werden?"

Ja natürlich ! Sorry, mein Fehler !

Also:

2 (x + y) + x_{0} = L

Servus

mat160687 aktiv_icon

18:56 Uhr, 19.08.2010

für die maximale Fläche musst du bei deiner Funktion einen Hochpunkt finden, wir haben des immer über die Erste Ableitung gemacht.

Und dann musst du schauen ob es im Definitionsbereich liegt

da

x_{max}

[18 m

sein kann sonst is es ja nicht mehr an der Mauer
und

y_{max}

] 45 m

kleineSchwedin aktiv_icon

19:01 Uhr, 19.08.2010

Okay also haben wir folgendes:

2 (x + y) + 18 = 90

\to y = 36 - x

F (x) = (18 + x) \cdot (36 - x)

= -x²

+ 18 x + 648

= x²

- 18 x - 648

Für

F (x) \to max

f' (x) = 2 x + 18

x = - 9

???Wo steckt denn jetzt schon wieder der Fehler(argh)

Rabanus aktiv_icon

19:29 Uhr, 19.08.2010

Hallo, Vorzeichenfehler !

" = x²

- 18 x - 648

Für F(x)→max

f' (x) = 2 x + 18

"

Servus

JueKei aktiv_icon

19:33 Uhr, 19.08.2010

Ich nehme einen etwas anderen Ansatz als deinen (den ich nicht nachvollziehen kann)

x

soll die eine

y

die andere Seite des Rechtecks sein.
dann ist der Umfang

2 (x + y)

und gleichzeitig 90(Zaun)+18(Mauer)

2 (x + y) = 90 + 18

x + y = 54

y = 54 - x

A (x, y) = x \cdot y

A (x) = - x^{2} + 54 x

A' (x_{E}) = - 2 x_{E} + 54 = 0

. .

x_{E} = 27

Also ist die lange Seite des Rechteckes

27 m

lang, wobei eine der beiden durch

18 m

Mauer und

9 m

Zaun erzeugt werden

mat160687 aktiv_icon

19:41 Uhr, 19.08.2010

also ich dachte dass die Mauer maximal Länge sein soll und das

x

nur von

] 0; 18]

geht, wobei aber die Fläche mit

x = 18

maximal werden würde also werden die

27

schon stimmen

Rabanus aktiv_icon

19:42 Uhr, 19.08.2010

@ JueKei

Die Lösung ist kein Rechteck sondern ein Quadrat !

Servus

JueKei aktiv_icon

19:42 Uhr, 19.08.2010

Jedes Quadrat ist ein Rechteck

JueKei aktiv_icon

20:03 Uhr, 19.08.2010

Aber lustig ist ja die Nachfrage

(50 m)!

Wenn man das mal mit variabler Zaunlänge

(z)

betrachtet, ergibt sich follgende Fallunterscheidung:

z \leq 36

Dann ensteht das Standardproblem des Zauns an der Mauer: eine Komplette Seite ist Mauer und die ist doppelt so lang wie die beiden kurzen
18(mauer)+18(zaun gegenüber)

+ 2 \cdot 9

(zaun von der mauer weg)
So wäre es das alte Standardproblem, bei dem die Länge

18

der Mauer "egal" ist.

z \geq 54

Den größten Flächeninhalt eine Re bei festem Umfang bekommt man beim Quadrat.
Zaunlänge durch

3 = 18

(siehe dann auch Lösung oben)

Spannend ist jetzt der letzte Fall

36 < z < 54

Da müsste es

m . E

. so sein, das das maximale Re dadurch entsteht, das die eine Seite die Mauer ist und die anderen daraus resultieren.
Bildlich, bei wachsen der Zaunlänge von

36

nach oben: Aus dem Rechteck mit

x = 2 y

wird ein Quadrat (bei

z = 54),

dazwischen liegen die Zwischenstufen.

Für

z = 50

also:

x = 18

somit

y = \frac{50 - 18}{2} = 16

\Rightarrow A = 18 \cdot 16 = 288

Rabanus aktiv_icon

22:31 Uhr, 19.08.2010

JueKei hat geschrieben:
"Ich nehme einen etwas anderen Ansatz als deinen (den ich nicht nachvollziehen kann)

x

soll die eine

y

die andere Seite des Rechtecks sein.
dann ist der Umfang

2 (x + y)

und gleichzeitig 90(Zaun)+18(Mauer)"

Nach diesem Ansatz ist in

x

die konstante Wandlänge

x_{0} = 18 m

enthalten.
Die Wand kann nun um einen Bruchteil

x'

der gegebenen Zaunlänge

L

verlängert (oder auch verkürzt :-) ) werden.
Damit besteht die Frage, wie groß muss dieses

x'

sein, damit die Fläche der von Mauer und Zaun eingefassten Fläche maximal wird.

Die Nebenbedingung lautet nun:

2 (x_{0} + x' + y) = L + x_{0}

\Rightarrow

x_{0} + 2 (x' + y) = L

Servus

Rabanus aktiv_icon

10:25 Uhr, 20.08.2010

Und nun zum Zaun mit einer Länge

L = 50 m!

Wir wissen ja nun, dass ein spezielles Rechteck, nämlich das Quadrat jeweils den maximalen Flächeninhalt ergibt.
Da bietet sich bei

L = 50 m

doch ein Quadrat mit einer Seitenlänge von

17 m

an.
Allerdings verbleibt dann eine Lücke von

1 m,

was aber im Vergleich zur Seitenlänge bzw. zum gesamten Umfang des Quadrats nur ein kleiner bzw. sehr kleiner relativer Fehler ist.
Außerdem gewährleistet diese Lücke einen kommoden Zugang zum eingezäunten Gelände, ohne über Mauern oder Zäune klettern zu müssen, was je nach Zaun- bzw. Mauerhöhe und körperlicher Verfassung ein nicht zu unterschätzender Vorteil sein kann.
Wenn ein Abschluß wünschenswert oder sogar notwendig ist (wie

z . B

. für Krabbel- und Kleinkinder), kann man die Lücke ja mit einem Gartentor oder Gatter verschließen.
Wie ein geeignetes Gartentor beschafft und montiert bzw. ein stabiles Gatter gebastelt wird, soll hier nicht näher erörtert werden.

Falls jedoch unter Verzicht auf die

⊙ a

. Vorteile und zur Wahrung der mathematischen Stetigkeit eine lückenlos geschlossene Umzäunung des Geländes gefordert ist, bleibt einem nichts anderes übrig, als in den sauren Apfel zu beißen und dieser Forderung nach zu kommen, was auf vielen - aber mindestens drei Arten - möglich ist:

1. Die Gartentor- oder Gatter-Methode wurde bereits kurz angeführt.
Bei dieser Methode ist jedoch noch der Nachweis der Stetigkeit zu erbringen.

2. Die

18 m

lange Mauer ist bei

17 m

rechtwinklig abzuknicken ! Voilà !

3. Wem dies alles zu umständlich oder zu beschwerlich ist
(Mauer ausbuddeln, Steinsäge besorgen, senkrechten Schnitt über Mauerhöhe ausführen und alles wieder einbuddeln),
dem rate ich zur Anwendung des MORGENSTERNschen Prinzips:

"Nun steht schon da der Lattenzaun,
mit Zwischenraum, hindurchzuschaun."
usw.usw.

Servus

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