Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Winkel zwischen Ebenen und Geraden

Winkel zwischen Ebenen und Geraden

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

Cmathb aktiv_icon

00:00 Uhr, 10.11.2020

Hallo,

Ich habe ein kleines Problem mit einer Mathe Aufgabe, und hoffe, dass ich hier jemanden finde der mir helfen kann.

Die Aufgabe lautet:

in der

x 1

und x2-Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems liegenden Fuß-
punkte von vier gleich hohen und lotrecht stehenden Pfosten der Höhe

h = 5 m

haben die Koordinaten

P 1 (3 | 5 | 0),

P2(–5|3|0), P3(–3|–5|0) und P4(5|–3|0).
An den Pfostenspitzen wird eine elastische Plane befestigt. Damit Regenwasser besser ablaufen kann und sich nicht in der Mitte der Plane sammelt, wird eine gerade, starre Stange so von oben auf die Plane gelegt, dass eine V-förmige Dach- form entsteht. Die Stangenenden werden durch zwei am Boden befestigte Seile nach unten gezogen und befinden sich dadurch in den Punkten Z1(–1|4|4) und Z2(1|–

4 | 3)

a)

Zeigen Sie, dass die Fußpunkte der Pfosten ein Quadrat bilden!

b)

Welche Länge

d

hat die Stange, welchen Winkel  bildet sie mit der

x 1

und

x 2 -

Ebene?

c)

Die Plane soll durch zwei ebene Glasplatten ersetzt werden, die V-förmige Dachform aber erhalten bleiben. Warum ist das mit den bisher verwendeten (sechs!) Befestigungspunkten nicht möglich?

d)

Um die Forderung laut

c)

zu erfüllen, muss der Architekt die Pfosten

P 1

und

P 2

erhöhen. Um welchen Betrag?

e)

Welchen Winkel  bilden die beiden Dachteile nun miteinander?

So.

a)

war kein Problem.

Bei

b)

habe ich die Länge der Stange ausgerechnet

(d = 8,3066)

. Jetzt muss ich ausrechnen welchen Winkel diese Stange mit der

x \frac{1}{x} 2

Ebene bildet. Muss ich dafür eine Hilfslinie ausrechnen und dann den Schnittwinkel zwischen den beiden Geraden ausrechnen? Wenn ja, wie genau rechne ich die

x 1

und

x 2

Ebene aus?

c)

habe ich theoretisch wieder gelöst. Dort habe ich per Vektoren gezeigt, dass die Entfernung zwischen

P 5

und

Z 1

nicht die selbe ist wie zwischen

P 8

und

Z 2

. Ich hoffe das war richtig.

d)

habe ich ebenfalls gelöst

jetzt fehlt mir aber noch der Ansatz zu

e)

. Hier stehe ich komplett vor dem Nichts. das sind ja zwei Flächen die einen Winkel ergeben- aber wie komme ich soweit, dass ich meine Werte (ich weiss auch nicht welche ich genau nutzen muss) dort einsetzen kann?

Also zusammenfassend benötige ich Hilfe bei dem Winkel von

b)

und

e)

Ich hoffe, dass das nicht zu umfangreich verfasst ist und ich mein Problem schildern konnte.
Vielen Dank schonmal für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Respon

01:23 Uhr, 10.11.2020

b)

Berechne den Vektor

\vec{Z_{1} Z_{2}} = (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix})

Der Normalvektor der

x_{1} x_{2} -

Ebene ist

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

cos (\bar{φ}) = \frac{| (\begin{matrix} 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}{| (\begin{matrix} 2 \\ - 8 \\ - 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |} = \frac{1}{\sqrt{69}} \Rightarrow \bar{φ} \approx 83,0856

\Rightarrow

φ \approx 6,9144

Cmathb aktiv_icon

08:20 Uhr, 10.11.2020

ah okay, dann hatte ich doch die richtige Formel an gedacht. Ich hatte nur den Normalenvektor falsch.

Und muss ich dann bei

e)

die gleiche Formel nutzen?

lg

Respon

08:30 Uhr, 10.11.2020

Die

x_{3}

-Achse steht normal auf die

x_{1} x_{2}

-Ebene. Jeder Vektor der Form

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ a \end{matrix})

ist daher ein Normalvektor, der einfachste wäre

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

.

Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist der Winkel zwischen den Normalvektoren.

Cmathb aktiv_icon

08:32 Uhr, 10.11.2020

dh das ist dann auch hier (0 /0 /1) ?
Und dann muss ich nur damit rechnen?

Respon

08:35 Uhr, 10.11.2020

"Und dann muss ich nur damit rechnen? "
Was meinst du damit ?

Cmathb aktiv_icon

08:38 Uhr, 10.11.2020

Ich bin grade gedanklich bei e)

Muss ich hier auch (um den Winkel zu berechnen) die gleiche Formel nutzen? und wenn ja, ist dann (0/0/1) auch der Normalenvektor?
Z1 und Z2 wären dann ja theoretisch auch wieder gleich.
Ich steh grad ein wenig auf dem Schlauch was für Zahlen ich hier brauche um den Winkel zu berechnen.

Respon

08:42 Uhr, 10.11.2020

Für eine Ebene, die irgendwie schräg im Raum liegt schaut der Normalvektor anders aus.
Hast du die Ebenegleichungen schon bestimmt ?

Cmathb aktiv_icon

08:48 Uhr, 10.11.2020

das habe ich grade versucht, aber ich weiss nicht genau welche Zahlen ich da brauche. Bei den Erklärungen ist die Fläche dafür immer ein Dreieck, aber hier habe ich ja ein Viereck..

Vielleicht habe ich grade auch nur einen absoluten Denkfehler aber mir will einfach nicht in den Kopf wie ich diese blöde Formel aufstellen muss.

Es ist ja E: v= p vektor + r* u vektor + s* v vektor
oder?
was setze ich da jetzt ein?

Cmathb aktiv_icon

08:50 Uhr, 10.11.2020

ich hab die Punkte in d) ja umgeändert, damit die Höhe passt.

Ich hab jetzt
P5 (3/5/6). P6 (-5/3/6). P7 (-3/-5/5). P8 (5/-3/5)

Z1 (-1/4/4) und Z2 (1/-4/3)

Respon

08:51 Uhr, 10.11.2020

d)

Um wie viele Einheiten hast du die Pfosten bei

P_{1}

und

P_{2}

erhöht ?

Cmathb aktiv_icon

08:52 Uhr, 10.11.2020

die Pfosten habe ich jeweils um 1 erhöht

Respon

09:00 Uhr, 10.11.2020

Du hast jetzt folgende Situation ( Grafik ). Ich habe die Endpunkte der Pfosten mit "

O

" bezeichnet.
Du bekommst jeweils RECHTECKE, die Koordinaten der Eckpunkte sind bekannt.
Bilde nun den Normalvektor des Rechtecks mittels Kreuzprodukt der Vektoren zweier anliegender Rechtecksseiten.

Cmathb aktiv_icon

09:12 Uhr, 10.11.2020

okay, also ich habe jetzt

a-> = Z1P5 = (4/1/2) = Wurzel aus 21

b->= Z1Z2= (2/-8/-1) = Wurzel aus 69

ich bin beide male aus der gleichen Ecke gegangen um die Vektoren zu berechnen... Ich weiss einfach nicht wo mein Denkfehler ist

Respon

09:23 Uhr, 10.11.2020

Die Vektoren sind korrekt. ( Grafik rot )
Bilde nun das Kreuzprodukt und du bekommst den Normalvektor des einen Rechtecks.

Cmathb aktiv_icon

09:32 Uhr, 10.11.2020

okay ich habe jetzt das Kreuzprodukt ausgerechnet

(15/8/-6)

da habe ich die Wurzel aus 325 raus = A= 18,0277
stimmt das soweit?

Respon

09:34 Uhr, 10.11.2020

Überprüfe

- 6

Cmathb aktiv_icon

09:37 Uhr, 10.11.2020

oh das müsste (15/ 8/ -34) sein

= Wurzel aus 1145 = A= 38,0131

Respon

09:45 Uhr, 10.11.2020

Korrekt !
Allerdings sehe ich - bedingt durch die frühe Morgenstunde - erst jetzt einen viel einfacheren Weg.
Berechne einfach den Winkel zwischen

\vec{Z_{1} O_{1}}

und

\vec{Z_{1} O_{2}}

.
Wir haben es ja hier mit zwei besonderen Flächen zu tun.

Der Winkel wäre dann

\approx 128,25

°

So, muss offline gehen. Wenn es noch Fragen gibt, dann melde dich wieder.

Cmathb aktiv_icon

10:30 Uhr, 10.11.2020

Erstmal vielen Dank für deine Hilfe und Geduld.
Ich habe jetzt nur noch ein Problem. Ich habe das jetzt so ausgerechnet, aber einen anderen wert heraus bekommen.

Einmal habe ich es versucht indem ich aus P7 und Z1 eine Gerade gemacht habe. Ebenso mit P8 und Z1. aus den Punkten habe ich dann Geraden gemacht.
Aus P7 und Z1 wurde (-1/4/6)
aus P8 und Z1 wurde (11/4/6)

ich hoffe soweit ist meine Rechnung verständlich.

dann habe ich den Schnittwinkel berechnet. Hier kam dann 41/ 95,7548 raus = 64,64810 Grad.

Da das Ergebnis ja nicht stimmte habe ich genau das gleiche nochmal mit den anderen Punkten gemacht. Ich habe also eine Gerade aus P5 und Z1 gemacht, und eine Gerade aus P6 und Z1 errechnet.

Dann wieder den Schnittwinkel berechnet und hier kam 81/ Wurzel aus 12069 heraus. = 42,497 Grad.

Das stimmt ja auch nicht.

Ich hab echt keine Ahnung mehr wieso ich diesen blöden Winkel immer falsch habe.

Wäre sehr lieb, wenn du nochmal drüber schauen könntest, falls du nachher Zeit hast.

Liebe Grüße

Respon

10:52 Uhr, 10.11.2020

"Aus