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Würfeln mit 2 Würfel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Stochastik

Tags: Pasch, Stochastik, Würfel

poldini aktiv_icon

21:24 Uhr, 19.04.2025

Wie sieht es denn mit der Wahrscheinlichkeit aus wenn:

man mit 2 Würfeln würfelt.

einen 6erpasch erreichen muss

einen Würfel herausnehmen darf wenn

z . B

. im ersten Wurf eine 6 dabei ist.

man insgesamt 3 mal würfeln darf.

ICh habs mit KI versucht aber die gibt immer eine andere Lösung,

Danke euch!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

calc007

22:47 Uhr, 19.04.2025

Hallo
Gut wär's natürlich, wenn du dir selbst und ggf. uns auch klarer machen und erklären wolltest, wie das Spiel und die Aufgabe denn funktioniert.

0.1)

Darf man auch im zweiten Wurf einen Würfel weglegen, wenn darin ein 6-er gelingt?

0.2)

Darf oder muss man 3-mal würfeln?

0.3)

Wird die Option, falls man in den ersten Würfen einen 6-er wirft, diesen herauszulegen auch systematisch genutzt, (oder auch nur wieder mit einer noch zu definierenden Wahrscheinlichkeit)?

a .)

Du kannst (kannst du ? ) die Wahrscheinlichkeit errechnen, direkt im ersten Durchgang mit zwei Würfeln einen 6-er-Pasch zu werfen.

b .)

Du kannst (kannst du ? ) die Wahrscheinlichkeit errechnen, im zweiten Durchgang mit zwei Würfeln einen 6-er-Pasch zu werfen.

b .)

Du kannst (kannst du ? ) die Wahrscheinlichkeit errechnen, im zweiten Durchgang mit einem Würfel einen 6-er-Pasch zu werfen, wenn dir im ersten Wurf schon ein 6-er gelungen ist, und du den aus dem Würfelbecher genommen hast.

c .)

Du kannst (kannst du ? ) die Wahrscheinlichkeit errechnen, im dritten Durchgang mit einem Würfel einen 6-er-Pasch zu werfen, wenn dir im ersten Wurf schon ein 6er gelungen ist, du den aus dem Würfelbecher genommen hast, dann aber im zweiten Wurf mit einem verbliebenen Würfel kein 6-er gelungen ist.

d .)

Du kannst (kannst du ? ) die Wahrscheinlichkeit errechnen, im dritten Durchgang mit einem Würfel einen 6-er-Pasch zu werfen, wenn dir im ersten Wurf kein 6-er gelungen ist, im zweiten Durchgang (mit zwei Würfeln), ein 6-er gelungen ist, den du dann aus dem Würfelbecher genommen hast.

e .)

Du kannst (kannst du ? ) einen Ereignisbaum skizzieren, um dir (und ggf. uns) schön Überblick zu verschaffen, welche Möglichkeiten zu einem Erfolg (6-er Pasch) führen.

poldini aktiv_icon

00:13 Uhr, 20.04.2025

Hallo,
danke für die schnelle antwort!

zu 1: Ja

zu 2: Wenn der Pasch im ersten oder 2. Wurf geglückt ist dann erübrigt sich ja der 3. Wurf.

zu 3: Ich denke es macht Sinn den 6er im 1. Wurf rauszulegen und dann in den zwei restlichen würfen versucht eine 6 zu bekommen. Sagen wir mal, es besteht der zwang eine gewürfelte 6 rauszulegen.

zu

a)

ja
zu

b)

ja
zu 2.es

b

bis

e :

nicht sicher.

Ich denke mir das so, dass man die einzelwahrscheinlichkeiten errechnet für alle fälle in denen man verliert (und dann addiert) um auf die Wahrscheinlichkeit zurückzuschliessen in der

- man verliert wenn keine einzige 6 dabei ist. weder im 1. noch im 2. noch im 3. wurf.

- man verliert wenn im 1. wurf eine 6 dabei ist (die ich herausnehme) aber nicht im 2. wurf. und auch nicht im 3. Wurf

- man verliert wenn im ersten wurf keine 6 dabei ist, im zweiten eine 6 dabei ist (die ich herausnehme), aber im dritten wurf kommt keine 6

- man verliert wenn im ersten wurf keine 6 dabei ist, im zweiten wurf keine 6 dabei ist, und im dritten wurf nur eine 6 oder keine 6 dabei ist (ich bräuchte ja den pasch)

Ich dachte erst das ist nicht so schwer aber ich finde das beispiel doch etwas komplexer.

Danke für die schnelle Antwort.

poldini aktiv_icon

00:16 Uhr, 20.04.2025

Ich denke mir das so, dass man die einzelwahrscheinlichkeiten errechnet für alle fälle in denen man verliert (und dann addiert) um auf die Wahrscheinlichkeit zurückzuschliessen in der man gewinnt: (sollte das heissen, sorry der satz war unvollständig)

Roman-22

03:49 Uhr, 20.04.2025

Nimm einfach an, dass jeder Würfel genau dreimal geworfen wird. Sollte eine Sechs kommen, kann man die nachfolgenden Würfe ja ignorieren.
Dann geht es plötzlich nur darum, dass jeder der beiden Würfel mindestens einmal eine Sechs zeigen soll. Das berechnest du am einfachsten mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Es geht da also im Wesentlichen um die Wahrscheinlichkeit, dass ein dreimal geworfener Würfel nie eine Sechs zeigt - und das für beide Würfel.

KL700 aktiv_icon

07:04 Uhr, 20.04.2025

"man mit 2 Würfeln würfelt.
einen 6erpasch erreichen muss
einen Würfel herausnehmen darf wenn

z . B

. im ersten Wurf eine 6 dabei ist."

Pasch heißt doch: Beide Würfel müssen 6 anzeigen.

Bei 3 Versuchen kann das im

1 ., 2

. oder 3.Wurf der Fall sein:

66

XX XX , XX

66

XX, XX XX

66

Die WKT

p (6,6) = \frac{1}{36}

P (X = 1) = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{36})}^{1} \cdot {(\frac{35}{36})}^{2} = 8,33 %

So lese ich diese Aufgabe.

"einen Würfel herausnehmen darf wenn

z . B

. im ersten Wurf eine 6 dabei ist"

Die Angabe macht für mich keinen Sinn.
Oder ist eine Art Nachwürfeln gemeint mit dem Würfel, der keine 6 anzeigt?
Das wäre aber untypisch und kommt im gewöhnlichen Würfelspiel, wo es um Paschs geht, nicht vor.

Randolph Esser aktiv_icon

11:40 Uhr, 20.04.2025

"Ich hab es mit KI versucht,..."

Wenn ich das lese, wird mir speiübel.

HAL9000

12:30 Uhr, 20.04.2025

> Sagen wir mal, es besteht der zwang eine gewürfelte 6 rauszulegen.

Im Sinne der Wahrscheinlichkeitsmaximierung dürfte das ja auch sinnvoll sein.

---------------------------------------

Es sei

p_{n} (m)

die Wahrscheinlichkeit, in maximal

n

Würfen mit

m

Würfeln die

m

Sechsen zu erreichen, wobei man in jedem der Züge 1 bis

n - 1

bereits erreichte Sechsen weglegt um dann mit den verbleibenden Würfeln weiter zu würfeln. Mit ein wenig Überlegung gelangt man zur Iterationsgleichung

p_{n} (m) = \frac{1}{6^{m}} \sum_{k = 0}^{m} (\begin{array}{c} m \\ k \end{array}) 5^{k} p_{n - 1} (k)

In dieser Summe kennzeichnet Index

k

die Anzahl der im ersten Wurf geworfenen Nicht-Sechsen, d.h., Startwerte sind

p_{n} (0) = 1

(keine Würfel übrig, d.h. alle

m

weggelegten Würfel zeigen Sechs - Erfolg) sowie

p_{0} (m) = 0

für

m \geq 1

(mindestens noch eine Nicht-Sechs, aber keine Würfe mehr übrig).

p_{3} (2) = \frac{1 + 10 p_{2} (1) + 25 p_{2} (2)}{6^{2}}

p_{2} (2) = \frac{1 + 10 p_{1} (1) + 25 p_{1} (2)}{6^{2}}

p_{1} (2) = \frac{1}{6^{2}}

p_{2} (1) = \frac{1 + 5 p_{1} (1)}{6}

p_{1} (1) = \frac{1}{6}

Alles rückwärts eingesetzt landet man bei

p_{2} (1) = \frac{11}{6^{2}}

p_{2} (2) = \frac{121}{6^{4}}

p_{3} (2) = \frac{8281}{6^{6}}

.

Man könnte auch versuchen, explizite Formeln für

p_{n} (m)

aufzustellen (für

p_{n} (1)

ist das z.B. einfach), aber das schenke ich mir hier.

KL700 aktiv_icon

12:42 Uhr, 20.04.2025

Was hat es noch mit Paschwürfeln zu tun, wenn man einen Würfel rausnimmt?
Pasch heißt: ich werfe und hoffe, dass alle Würfel dieselbe Zahl aufweisen.

Alles andere müsste genau definiert werden.
Was passiert, wenn ich eine 6 raugenommen habe? Wie ist der weitere Ablauf?
Um was für ein Spiel geht es genau? Wie lautet ALLE Regeln?

calc007

12:46 Uhr, 20.04.2025

@KL7000000
Die Regeln wurden ja durch Nachfragen brauchbar vervollständigt.
Und dass der Begriff 'Pasch' im Sinne dieser Aufgabe eben bedeutet, mit jedem der zwei Würfel einen 6-er zu erreichen - nicht notwendigerweise in einem Wurf - das hat poldini ja

ν

klargestellt.

Roman-22

12:57 Uhr, 20.04.2025

Bezugnehmend auf den Beitrag von HAL9000:

Mit dem von mir vorhin vorgestellten Gedanken kommt man unmittelbar auf die explizite Formel

p_{n} (m) = {(1 - {(\frac{5}{6})}^{n})}^{m}

Für die gegebene Aufgabenstellung also

{(1 - {(\frac{5}{6})}^{3})}^{2} = \frac{8281}{46656} \approx 17,75 %

{(\frac{5}{6})}^{3}

ist die Wkt dafür, dass EIN Würfel bei drei Würfen KEINE Sechs zeigt.

1 - {(\frac{5}{6})}^{3}

ist daher die Wkt dafür, dass EIN Würfel bei drei Würfen MINDESTENS EINE Sechs zeigt.
Und quadriert wird das natürlich, weil ja beide Würfel mindestens eine Sechs zeigen sollen.

@calc007
Ja, das sehe ich auch so. Trotzdem finde ich den Beitrag von KL70... alias supporter faszinierend. Man ignoriert einfach wesentliche Angaben weil man sie nicht versteht, nicht für sinnvoll erachtet, oder einen Begriff anders kennt und verändert die Angabe einfach so, wie man gern möchte. Dieser Ansatz könnte die Mathematik, vor allem die Schulmathematik, gewaltig vereinfachen und dem Fach seinen Schrecken nehmen ;-)

HAL9000

13:11 Uhr, 20.04.2025

@Roman

Hmmm stimmt, man kann die

m

Würfel getrennt voneinander betrachten - jeder muss in maximal

n

Würfen die Sechs schaffen. Immerhin kommt man mit meiner (hier) umständlicheren Methode auch zum richtigen Ergebnis. ;-)

Randolph Esser aktiv_icon

19:56 Uhr, 20.04.2025

Oder die erbsenzählende Ameise:

1. Wurf:

\frac{1}{36} \to

zwei 6en, Bingo

\frac{10}{36} \to

eine

6,

mit einem Würfel weiter

(a)

\frac{25}{36} \to

keine

6,

mit zwei Würfeln weiter

(b)

2. Wurf:

\frac{1}{6} \to

nach

(a)

die zweite

6,

Bingo

\frac{5}{6} \to

nach

(a)

keine zweite

6 (c)

\frac{1}{36} \to

nach

(b)

zwei 6en, Bingo

\frac{10}{36} \to

nach

(b)

eine

6,

mit einem Würfel weiter

(d)

\frac{25}{36} \to

nach

(b)

keine

6 (e)

3. Wurf:

\frac{1}{6} \to

nach

(c)

oder

(d)

die zweite

6,

Bingo

\frac{1}{36} \to

nach

(e)

zwei 6en, Bingo

Nun zusammenbauen. Dabei beachten:

Logisches UND

\to

Wahrscheinlichkeiten multiplizieren,

Logisches ODER

\to

Wahrscheinlichkeiten addieren.

1.Wurf:

\frac{1}{36} + \frac{10}{36} \cdot (...) + \frac{25}{36} \cdot (...)

2. Wurf:

\frac{1}{36} + \frac{10}{36} \cdot (\frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot ...) + \frac{25}{36} \cdot (\frac{1}{36} + \frac{10}{36} \cdot ... + \frac{25}{36} \cdot ...)

3. Wurf:

\frac{1}{36} + \frac{10}{36} \cdot (\frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}) + \frac{25}{36} \cdot (\frac{1}{36} + \frac{10}{36} \cdot \frac{1}{6} + \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{36}) = \frac{8281}{46656} \approx 0,17749,

wie schon zuvor berechnet.

Eventuell hilft auch ein Baumdiagramm.

minami aktiv_icon

05:44 Uhr, 22.04.2025

That’s a really cool probability puzzle! The option to remove one die after rolling a six definitely spices things up. Since you can roll up to 3 times, your chances improve with each attempt—but calculating it precisely requires a bit of conditional probability. You might want to simulate or check a detailed breakdown using Google Search for "Pasch Wahrscheinlichkeit mit 3 Würfen". Probability lovers, jump in and share your thoughts!
www.google.com

Randolph Esser aktiv_icon

13:06 Uhr, 22.04.2025

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