Wurzel 2 näherungsweise mit Taylorreihe berechnen

Hallo,

ich muss mit folgender Taylorreihe:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1-\frac{1}{2}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{1}{2!*4}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\frac{1}{3!*8}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ mit ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sqrt{1-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

den Wert von ${\displaystyle \sqrt{2}=\sqrt{\frac{9*8}{4*9}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}}$ näherungsweise berechnen.

Wie muss ich denn da vorgehen? Steh total im Wald

Du hast ja bereits eine Taylorreihe gegeben und mit dieser Taylorreihe kann man einen

Näherungswert für ${\displaystyle \sqrt{1-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ berechnen. Übrigens ist die Taylorreihe so nicht ganz richtig.

Bei dem Term mit ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ fehlt noch eine 3 auf dem Bruchstrich:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1-\frac{1}{2}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{1}{2!\cdot 4}\cdot {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\frac{3}{3!\cdot 8}\cdot {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$

Damit die Taylorreihe funktioniert muß ${\displaystyle \left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|\le 1}$ sein. Die Näherungslösung wird umso

genauer, je kleiner ${\displaystyle \left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|}$ im Vergleich mit 1 ist. Um ${\displaystyle \sqrt{2}}$ mit dieser Taylorreihe zu berechnen,

könntest Du z.B. schreiben:

${\displaystyle \sqrt{2}=\sqrt{1-(-1)}}$ und Du könntest damit ${\displaystyle \sqrt{2}}$ näherungsweise berechnen, indem Du

in die Taylorreihe x=-1 einsetzt. Allerdings wird dabei keine so gute Naherung für

${\displaystyle \sqrt{2}}$ herauskommen (Du kannst es ja mal selbst ausprobieren). Für eine bessere

Näherung sollte ${\displaystyle \left|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right|}$ viel kleiner als 1 sein. Deshalb macht man die folgende Umformung:

${\displaystyle \sqrt{2}=\sqrt{\frac{8}{4}}=\sqrt{\frac{9\cdot 8}{4\cdot 9}}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{3}{2}\cdot \sqrt{1-\frac{1}{9}}}$

${\displaystyle \frac{1}{9}}$ ist viel kleiner als 1, deshalb können wir mit der Taylorreihe einen guten Näherungswert

für ${\displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{9}}}$ berechnen. Du mußt nur ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{9}}$ in die Taylorreihe einsetzen. Wenn Du das

Ergebnis dann noch mit ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ multiplizierst, sollte ein ganz brauchbarer Naherungswert für

${\displaystyle \sqrt{2}}$ herauskommen.

Hi,

vielen vielen Dank für die klasse Erklärung!

Hab nur die Kurzlösung von meinem Prof. gehabt und nichts verstanden.

Schönen Abend noch!