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Wurzel aus komplexer Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: algebraische Form, Komplexe Zahlen, reduzieren, Wurzel

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17:38 Uhr, 21.10.2010

Hallo. :)

Ich soll die komplexe Zahl $\sqrt{1 - i}$ in die Form z = a+i*b (algebraische Form) reduzieren.

Kennt da jemand einen Lösungsweg?

Meine Überlegungen sehen wie folgt aus:

$A u s g a n g s g l e i c h u n g : z = \sqrt{a} m i t a = 1 - i \to z^{2} = a = 1 + (- 1) i Für z = α + β \cdot i w i r d z^{2} = α^{2} - β^{2} + (2 α β) i D a r a u s e r g i b t s i c h : α^{2} - β^{2} = 1 u n d 2 α β = - 1$

Wenn ich jetzt eine von beiden Gleichungen nach $α$ oder $β$ umstelle und anschließend in die jeweils andere einsetze, erhalte ich zum Teil Gleichungen 4. Grades, also mit mehreren Lösungen. Gibt es da keine einfacheren Alternativen?

Über Antwort freue ich mich.

Vielen Dank. :)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

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17:44 Uhr, 21.10.2010

Noch mal andere Schreibweise. :-)

Ausgangsgleichung:

z =

Wurzel(a) mit

a = 1 - i \to

z²=a=1+(-1)i
Für z=α+β⋅i wird: z²=α²-β²+(2αβ)i
Daraus ergibt sich:
α²-β²=1 und 2αβ=-1

MBler07 aktiv_icon

18:37 Uhr, 21.10.2010

Hi

Der Koeffizientenvergleich ist eine Möglichkeit. Du musst dann nur noch dieses Gleichungssystem lösen. Denk aber dran, dass quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.

\to

Probe!

Alternativ könntest du auch über die polare Form gehen. Diesen Weg finde ICH HIERBEI einfacher. Du musst aber für dich selbst entscheiden, was dir lieber ist bzw. welche Ergebnisdarstellung dir lieber ist.

Grüße

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20:11 Uhr, 21.10.2010

Okay. Das Problem ist dabei nur, dass ich dann nicht weiß, wie ich aus der polaren Form (Euler'sche Form) die allgebraische Form herleite.
z=Wurzel(1-i)
z²=1+(-1)i
r=Wurzel(1²+(-1)²)=Wurzel(2)
cos(α)=1/Wurzel(2)

\to

α=45° oder α=Pi/4
Daraus ergibt sich dann in der Polarform:
z²=Wurzel(2)*e^(i*Pi/4)
z=Wurzel(Wurzel(2)*e^(i*Pi/4))

Also irgendwie hilft mir das leider auch nichts.

: (

MBler07 aktiv_icon

20:39 Uhr, 21.10.2010

Ich kenne die Winkelberechnung nur über den arctan. Aber wenn du den

cos

anwendest, ist das auch in Ordnung. Dann musst du das allerdings richtig machen ;-)
Der Winkel ist

- \frac{π}{4} = \frac{7}{4} π

bzw.

- 45 = 315!

Du solltest besser direkt die trigonometrische Form nutzen:

x + j y = r (cos (φ) + j \cdot sin (φ))

Und dann nach der Regel von Moivre den Exponente (für die Wurzel

\frac{1}{2})

reinziehen:

{(cos (φ) + j \cdot sin (φ))}^{n} = (cos (n \cdot φ) + j \cdot sin (n \cdot φ))

Durch ausmultiplizieren erhälst du die algebraische Form.

Hilft dir das weiter?

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20:52 Uhr, 21.10.2010

Ich denke, dass ich die Umformung von trigonometrischer Form in die allgebraische Form verstanden habe. Was mich stört, ist einfach das Wurzelzeichen.
z=Wurzel(1-i) bzw. z²=1-i
Und da weiß ich nicht, wie ich es auflösen soll.
Auch aus der trigonometrischen Form: r(cos(φ)+i*sin(φ))=z² kann ich keine Wurzel ziehen, sodass am Ende die allgebraische Form von

z

mit

z = a + i \cdot b

wieder auftaucht.

= (

MBler07 aktiv_icon

21:09 Uhr, 21.10.2010

Dann ließ dir nochmal meine letzte Antwort genauer durch. Den Teil mit Moivre...

Ich schreibs mal etwas ausführlicher:

Wenn

x + j y = r (cos (φ) + j \cdot sin (φ))

ist, gilt folglich auch

{(x + j y)}^{n} = {(r (cos (φ) + j \cdot sin (φ)))}^{n} = r^{n} {(cos (φ) + j \cdot sin (φ))}^{n}

Und Moivre sagt aus, dass

{(cos (φ) + j \cdot sin (φ))}^{n} = (cos (n \cdot φ) + j \cdot sin (n \cdot φ))

Außerdem gilt:

\sqrt{1 - x} = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}

Alles zusammen also:

z = \sqrt{1 - x} = r^{\frac{1}{2}} (cos (\frac{1}{2} φ) + j \cdot sin (\frac{1}{2} φ))

Der letzt Teil dieser Gleichung ausmultipliziert ergibt die gesuchte algebraische Form.

Ist das nachvollziehbar? Oder soll ich doch lieber auf deinen ersten Weg (Koeffizientenvergleich eingehen)?

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21:43 Uhr, 21.10.2010

Ich habe eine Lösung gefunden!
Mein Rechenweg:
z=Wurzel(1-i)

\to

z²=1+(-1)i
z²=Wurzel(2)*(cosφ

+

i*sinφ)
cosφ=1/Wurzel(2) φ1=45°, φ2=315°
Wegen sinφ=-1/Wurzel(2)

\to

φ=315° bzw. φ=7/4*Pi

Daraus folgt:
z²=Wurzel(2)

\cdot (cos (\frac{7}{4} \cdot Π) + i \cdot sin (\frac{7}{4} \cdot Π))

z=Wurzel(Wurzel(2)

\cdot (cos (\frac{7}{4} \cdot Π) + i \cdot sin (\frac{7}{4} \cdot Π))

z = 2^{0,25} \cdot {(cos (\frac{7}{4} \cdot Π) + i \cdot sin (\frac{7}{4} \cdot Π))}^{0,5}

z = 2^{0,25} \cdot (cos (\frac{7}{8} \cdot Π) + i \cdot sin (\frac{7}{8} \cdot Π))

z = 2^{0,25} \cdot cos (0,875 Π) + i \cdot sin (0,875 Π) \cdot 2^{0,25}

z ~ - 1,098 + i \cdot 0,455

= = = = = = = = = = = = = = = = =

Ich danke dir sehr für deine guten Ratschläge. :-)

MBler07 aktiv_icon

21:46 Uhr, 21.10.2010

Freut mich, dass es dir geholfen hat.

Dann noch einen schönen Abend.

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