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Wurzel aus komplexer Zahl in Normalform ziehen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

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15:22 Uhr, 20.04.2010

Hallo zusammen!

Ich hab da mal ne Frage..... Wie kann man aus Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl die Wurzel der komplexen Zahl errechen ohne über die Exponentialform zu gehen?

Ich habe gegeben:

$z^{2} = a + b i$ und $z = x + y i$

Ich bin bis jetzt wie folgt vorgegangen:

${(x + y i)}^{2} = a + b i$

$x^{2} + 2 x y i - y^{2} = a + b i$

Aus Koefizentenvergleich ergibt sich:

$x^{2} - y^{2} = a 2 x y = b \Rightarrow y = \frac{b}{2 x}$

$\Rightarrow a = x^{2} - (\frac{b^{2}}{{4 x}^{2}}) \Rightarrow {4 x}^{4} = b^{2} + {4 x}^{2} a \Rightarrow {4 x}^{4} - 4 a x^{2} - b^{2} = 0$

$\Rightarrow x^{4} - {a x}^{2} - \frac{b^{2}}{4} = 0$ Substitution für $x^{2} = m$

PQ Formel:

$m_{1 / 2} = \frac{a}{2} \pm \sqrt{- \frac{a^{2}}{4} + \frac{b^{2}}{4}} = \frac{a}{2} \pm \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2} = \frac{a \pm | z |}{2}$ (Da $| z |$ fällt das (-) weg!)

Rücksubstitution:

$x = \sqrt{\frac{| z | + a}{2}} \to$ Realteil

Soweit so gut! Bis hier hab ich erst mal die Frage ob ich irgendwo einen Fehler gemacht hab! Und dann habe ich schon mal angefangen oben berechnetes x in die andere Gleichung ganz oben einzusetzen um auf dem Imaginärteil zu kommen! Durch ausprobieren bin ich schon darauf gekommen, daß mein Ergebniss hierzu eigentlich dann wie oben nur mit "-a" da stehen müsste! Allerdings komm ich da gerade irgendwie überhaupt nicht hin!

Ich sag schon mal Danke für Eure Hilfe!

Gruß

Andreas

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

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