Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wurzel von x^2

Wurzel von x^2

Universität / Fachhochschule

Tags: Wurzel, x^2

McDanielz aktiv_icon

14:24 Uhr, 11.06.2009

So Hallo!

Ich bin ein wenig verwirrt und ich hoffe ihr könnt mich aufklären. Folgendes Problem:

Was ist die Wurzel von xhoch2? Ist es nun

x

oder

- + x

oder der Betrag von x?

Hier ein Beispiel: wir suchen jeweils die Lösungsmenge von

x

(nur reelle Zahlen)

xhoch2

= 1

. Die Lösungsmenge ist ganz klar 1 und

- 1,

da 1hoch2

= 1

und -1hoch2

= 1

Doch wenn ich die Gleichung formal lösen möchte, sprich auf beiden Seiten Wurzel ziehe, dann bekomm ich ja

\pm x = \pm 1

und nicht

x = \pm 1

. Also ist Wurzel

x^{2}

nur x? Eigentlich ist doch das Wurzelziehen auch keine richtige Äquivalenzumformung.

Noch ein Beispiel:

xhoch2>1 Die Lösungsmenge sind alle reellen Zahlen außer das Intervall

{- 1,1},

oder der Betrag von

x

muss größer sein als 1.
Und tatsächlich, in meinem Mathebuch steht, das ein Term, den man quadriert und danach die Wurzel zieht gleich der Betrag des Termes ist. Also nix mit

\pm x

?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich finde sonst keine Ruhe.

Danke schonmal im vorraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Shipwater aktiv_icon

14:36 Uhr, 11.06.2009

Hi,

die Wurzel ist so definiert, dass nur positive Zahlen Wurzeln sein können.
Bei Gleichungen können aber auch negative Zahlen die Gleichungen erfüllen, das hat dann nichts mehr mit der Defintion zu tun.

Z . B . :

x^{2} = 9

x = \pm 3

Hier muss man die

\pm

Wurzel ziehen, denn sowohl

{(- 3)}^{2}

als auch

3^{2}

ergeben 9.

Aber als Wurzel von 9 ist nur diejenige nichtnegative Zahl definiert, die mit sich selber multiplizert 9 ergibt.

Gruß Shipwater

Edddi aktiv_icon

14:47 Uhr, 11.06.2009

...tatsächlich ist das Wurzeln keine Äquivalenzumformung.

da sonst:

4 = 4

\sqrt{4} = \sqrt{4}

- 4 = 4

. .

McDanielz aktiv_icon

14:53 Uhr, 11.06.2009

Ja aber mir gehts jetzt um das formale lösen der Gleichung

x^{2} > 1

. Spontan würde ich jetzt sagen die Lösung ist

x > \pm 1

was allerdings nicht stimmt. Richtig ist Betragx

> 1

. Außerdem ist das Wurzelziehen keine richtige Äquivalenzumformung. Wie soll man dann eigentlich die Gleichung

(x) 2 = (3) 2

formal lösen können?

Edddi aktiv_icon

15:15 Uhr, 11.06.2009

x > \pm 1

ist falsch

richtig ist:

x > 1

und

x < - 1

x^{2} > 1

\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}

x > 1

und:

x^{2} > 1

{(- x)}^{2} > 1

\sqrt{{(- x)}^{2}} > \sqrt{1}

- x > 1

(mal

- 1)

x < - 1

;-)

McDanielz aktiv_icon

15:33 Uhr, 11.06.2009

Naja, dann könnte ich auch folgendes machen:

(x) 2 > 1

(x) 2 > (- 1) 2

x > - 1

was ja falsch ist

Edddi aktiv_icon

15:56 Uhr, 11.06.2009

...es stimmt zwar, das

{(- 1)}^{2} = 1

...daraus kannst du aber nicht die Äquivalenz von 1 und

- 1

über

1^{2} = {(- 1)}^{2} = 1

herleiten...

so seh' ich das zumindestens

;-)

fhuber aktiv_icon

16:09 Uhr, 11.06.2009

Die Wurzel kann keine Äquivalenzumformung sein.

Beginnt man mit dem Quadrieren, sieht man es leicht:

Aus

x = 3

wird durch das Quadrieren beider Seiten

x^{2} = 9

Diese Gleichung erfüllt also auch die Lösung

x = - 3 .

Daher ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung.

Beim Wurzelziehen muss man genau hinsehen:

Aus

x^{2} = 9

wird

x = 3

UND

x = - 3

Das sind zwei Gleichungen. Zwar bleiben aufgrund der Rechenregel

x^{2} = a \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{a}

beide Lösungen erhalten aber eben nicht in einer Gleichung.
Daher ist das Wurzelziehen keine Äquivalenzumforumung.

McDanielz aktiv_icon

16:09 Uhr, 11.06.2009

Hm...sehr verzwickt die ganze Sache. Zumal stellt sich auch die Frage, wie man von

{(x)}^{2} > 1

auf

x > 1

auf formalem Weg kommt. Schließlich darf man ja nicht auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, oder doch?

McDanielz aktiv_icon

16:28 Uhr, 11.06.2009

Und wie kommt man von

(x) 2 = 9

auf

x = \pm 3

außer mit probieren? Ich mein ist schon klar das 3 und

- 3

die Lösungsmenge ist aber welche Rechenoperation hat man denn gemacht. Auf beiden Seiten Wurzel ziehen? Darf man ja nicht.

el holgazán aktiv_icon

16:32 Uhr, 11.06.2009

Also eine Gleichung ist ja nichts anderes als zu sagen, die linke Seite ist das gleiche (oder ungleich) wie die rechte Seite.

x^{2} > 1

Die Aufgabe besteht nun darin, alle x zu finden welche diese Gleichung erfüllen. Ich kann dazu die Gleichung mit Operationen umformen. Um alle Lösungen zu erhalten gibt es zwei Möglichkeiten.

Äquivalenzumformungen
Nicht-Äquivalenzumformungen

Die erstere Klasse sind die bequemen Operationen. Das sind diese Operationen welche ich auf meine Gleichung anwenden kann, und alle x die die erste Gleichung erfüllen, erfüllen auch die zweite Gleichung und umgekehrt. Zum Beispiel beide Seiten

+ 2

oder beide Seiten

/ 5

. Es ist nun wichtig zu verstehen, dass das entscheidend ist für das Finden aller Lösungen.
Ein Beispiel:

x = 2

Quadieren:

x^{2} = 4

Nun haben wir den Fall, dass zwar alle x die die erste Gleichunge erfüllen die zweite Gleichung erfüllen, aber umgekehrt ist das nicht der Fall! Denn

- 2

erfüllt die zweite, aber nicht die erste Gleichung.

.^{2}

ist also keine Äquivalenzumformung.

Die Umkehrung dieser Nicht-Äquivalenzumformung ist nun die Wurzel - und jetzt wird es kompliziert. Denn die Wurzel ist keine eindeutige Umkehrung weil ja gilt:

- 1 \neq \sqrt{{- 1}^{2}}

- also erhält man nicht unbedingt alle Lösungen, wenn man die Wurzel einer Gleichung zieht.

x^{2} > 1

x > 1

Nun hat man die Lösungen verloren, bei denen x negativ ist. Zwar erfüllen alle Lösungen der zweiten Gleichung die erste Gleichung, aber nicht alle Lösungen der ersten erfüllen auch die zweite Gleichung - man findet also nur einen Teil der möglichen Lösungen.
Um dies zu korrigieren, muss man eine Fallunterscheidung machen und somit auch die negativen x reinnehmen:

x^{2} > 1 \Rightarrow (x > 1

oder

- x > 1)

Und dies führt dann auf die zwei Gleichungen:

x > 1

oder

x < - 1

fhuber aktiv_icon

16:32 Uhr, 11.06.2009

Wieso soll man das nicht dürfen?

Formal gesehen läuft das so:

x^{2} = 9

\sqrt{x^{2}} = \sqrt{9}

| x | = 3

x = \pm 3

McDanielz aktiv_icon

16:54 Uhr, 11.06.2009

Ah jetzt ist es mir klar geworden. Jetzt gibt das mit dem Betrag auch Sinn.

Ich danke euch alle vielmals!

mfg McDanielz

621079

621015

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?