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Wurzel ziehen mit Taylor

Universität / Fachhochschule

12:18 Uhr, 27.06.2011

Hallo Experten,
Ermitteln Sie einen Näherungswert für

{(8,4)}^{\frac{1}{3}}

durch ein geeignetes Taylorpolynom 2ten Grades.
Das sieht doch normal so aus oder?

T = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} {(x - x_{0})}^{2}

Ich brauche also die erste und zweite Ableitung von

f (x)

Aber was ist mein

f (x)

? sag ich einfach

f (x) = x^{\frac{1}{3}}

?
Dann wäre mein

f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}

und mein

f'' (x) = - \frac{2}{9} x^{- \frac{5}{3}}

Dann für

x = 8,4

einsetzen?

Nee, da steht ich ja wieder am Anfang...also wie muss ich vorgehen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

14:05 Uhr, 27.06.2011

Hallo,

das hast Du richtig erkannt, daß Du dann wieder am Anfang stehst. Du mußt für

x_{0}

einen Wert nehmen, für den man

f (x_{0}), f' (x_{0})

und

f'' (x_{0})

leicht berechnen kann. Es ist ja

f (x_{0}) = \sqrt[3]{x_{0}}

. Wir suchen uns eine Zahl in der Nähe von

8.4,

für die die 3. Wurzel leicht zu berechnen ist. 8 ist

z . B

. so eine Zahl, denn es ist

\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^{3}} = 2

. Ferner ist

f' (x_{0}) = \frac{1}{3} \cdot x_{0}^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x_{0}^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(\sqrt[3]{x_{0}})}^{2}}

und

f'' (x_{0}) = - \frac{2}{9} \cdot x_{0}^{- \frac{5}{3}} = - \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{x_{0}^{\frac{5}{3}}} = - \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{x_{0} \cdot x_{0}^{\frac{2}{3}}} = - \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{x_{0} \cdot {(\sqrt[3]{x_{0}})}^{2}}

d . h .,

die erste und zweite Ableitung lassen sich auch auf

\sqrt[3]{x_{0}}

zurückführen und damit für

x_{0} = 8

leicht berechnen. Damit solltest Du Deine Taylorreihe aufstellen können.

Viele Grüße
Yokozuna

14:46 Uhr, 27.06.2011

Das macht Sinn :-)
Danke!

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