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Wurzelgleichung (Probe)

Schüler Technisches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Probe, Wurzel

Danny.kl aktiv_icon

16:05 Uhr, 11.09.2015

Moin moin.
Heute beim durchgehen der Mathe Vorlesung (Brückenkurs) ist mir was aufgefallen, dass ich etwas nicht verstehe!
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

{(x + 42)}^{\frac{1}{2}} = x

x + 42 = x^{2}

x^{2} - x - 42 = 0

Eingesetzt in die PQ Formel bekomme ich als Lösungen 7 und

- 6

.
Diese setze ich in die 1. Gleichung ein um zu gucken welche Lösung richtig ist.

{(- 6 + 42)}^{\frac{1}{2}} = 36^{\frac{1}{2}} = \pm 6

{(7 + 42)}^{\frac{1}{2}} = 49^{\frac{1}{2}} = \pm 7

Die richtige Lösung ist

L = {7}

Scheinbar darf ich beim Wurzel ziehen nur die positive Zahl nehmen.

{(7 + 42)}^{\frac{1}{2}} = 49^{\frac{1}{2}} = 7

{(- 6 + 42)}^{\frac{1}{2}} = 36^{\frac{1}{2}} = + 6

ungleich

- 6

Aber warum?

6 \cdot 6

sind

36

aber

(- 6) \cdot (- 6)

auch. Warum gilt es hier scheinbar nicht?
Was habe ich übersehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

16:14 Uhr, 11.09.2015

Hallo,

auf der linken Seite steht eine Potenzfunktion mit (echt) rationalem Exponenten, also defakto eine Wurzel, da

a^{(\frac{m}{n})} = {(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}

ist. Und das Ergebnis einer Wurzel ist per Definition immer nichtnegativ und auch die Potenz einer nichtnegativen Zahl ist nichtnegativ. Wie man es auch dreht, die linke Seite ist nichtnegativ. Auf der rechten Seite steht

x

und für

x = - 6

ist das negativ und als Lösung ausgeschlossen.

Danny.kl aktiv_icon

16:24 Uhr, 11.09.2015

Danke schonmal für deine Antwort. Ich weiss, dass es sich um eine Wurzelgleichung handelt.
Wusste nur nicht wie ich sie hier ausschreibe. deshalb

{()}^{\frac{1}{2}}

Das Ergebnis einer Wurzel ist also immer positiv?
Wie siehts bei der PQ Formel aus? Entsteht das

\pm {()}^{\frac{1}{2}}

durch:

{(x + \frac{p}{2})}^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} - q

x + \frac{p}{2} = {({(\frac{p}{2})}^{2} - q)}^{\frac{1}{2}}

Also durch das "verwurzeln" des

{({(\frac{p}{2})}^{2} - q)}^{\frac{1}{2}}

. Ich dachte immer man schreibt es einfach, weil
durch das wurzelziehen immer das positive und das negative Ergebnis entsteht.
Da

6 \cdot 6 = 36

und

- 6 \cdot - 6 = 36

Roman-22

16:27 Uhr, 11.09.2015

Wie Bummerang schon geschrieben hat, ist im Reellen die

\sqrt{a}

definiert als jene NICHTNEGATIVE Zahl

b \geq 0

für die

b^{2} = a

gilt. Somit ist

y = \sqrt{x}

als Funktion qualifiziert, da eindeutig.
Im Komplexen ist die Eindeutigkeit nicht mehr gegeben und es gibt für eine n-te Wurzel immer

n

verschiedene Ergebnisse

(n \in ℤ^{+})

.

Im Reellen musst du also unterscheiden zwischen dem eindeutigen

x = \sqrt{36} = + 6

und den beiden Lösungen der Gleichung

x^{2} = 36

x_{1,2} = \pm \sqrt{36} = \pm 6

Auch hier ist der Wert der Wurzel selbst immer nur positiv, aber als Lösung der Gleichung kommt eben auch die negative Wurzel infrage.

R

Bummerang

16:31 Uhr, 11.09.2015

Hallo,

"Das Ergebnis einer Wurzel ist also immer positiv?"

Falsch! Das Ergebnis einer Wurzel ist immer nichtnegativ! Und genau das hatte ich auch in meinem letzten Post geschrieben!

Bei der p-q-Formel steht

\pm {(...)}^{\frac{1}{2}}

genau deshalb, weil die Wurzel selbst nur nichtnegativ ist! Genau deshalb muss man ja die beiden Lösungen durch

\pm

erzeugen. Wenn die Wurzel uneindeutig wäre, könnte man ja auf das

\pm

verzichten!

Danny.kl aktiv_icon

16:43 Uhr, 11.09.2015

Danke euch beiden ich glaube ich verstehe.

Magst du mir noch verraten wie ich die Wurzel grafisch darstelle?

Roman-22

17:03 Uhr, 11.09.2015

>

Magst du mir noch verraten wie ich die Wurzel grafisch darstelle?
Ich glaube, dazu müsstest du uns erst noch verraten, was du unter "die Wurzel grafisch darstellen" genau verstehst.
Dass wir dir ein Wurzelzeichen aufmalen, darum wirds dir ja vermutlich nicht gehen und dass man einen Strich bei

+ 6

am Zahlenstrahl macht um zB die Wurzel aus

36

darzustellen, wirst du ja vermutlich auch nicht meinen.
Und

f : y = \sqrt{x}

mit irgend einem Funktionsplotter zeichnen zu lassen wirst du wohl auch ohne uns schaffen.
Mir ist daher nicht klar, was du da genau benötigst.

R

Danny.kl aktiv_icon

00:40 Uhr, 12.09.2015

Man kann ja hier so schöne Gleichungen reinschreiben und der Editor erkennt sie, stellt sie richtig da.
Ich möchte statt

{()}^{\frac{1}{2}}

lieber das Wurzelzeichen (zukünftig) benutzen. Was muss ich dafür eintippen. ?

Ma-Ma aktiv_icon

00:42 Uhr, 12.09.2015

Klicke mal auf "Antworten". Direkt über dem Eingabefenster findest Du einen Reiter "Wie schreibt man Formeln?"
Auf diesen klicke

... .

. findest Du das ?
LG Ma-Ma

Danny.kl aktiv_icon

02:11 Uhr, 12.09.2015

Habs gefunden nach

10

Minuten Bildschirm glotzen. Ist ja echt nicht so schwer.
Danke euch, damit sind wir durch :-D)

\sqrt{25} = 5

Klasse, klappt sogar.

Stephan4

04:04 Uhr, 12.09.2015

Wie kann man dann

\sqrt{x} = - 3

lösen?

Ich würde

x = 9

raus bekommen, aber bei der Probe scheitere ich, denn die Wurzel ist immer nichtnegativ, wie Du (Bummerang) geschrieben hast, oder?

:-)

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