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Zufallsgrößen (Varianz und Standardabweichung)

Schüler Gymnasium,

Tags: Standardabweichung, Varianz, varianz berechnen, Würfel, Zufallsgröße

 
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Jorani

Jorani aktiv_icon

00:07 Uhr, 01.09.2013

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Hallo alle zusammen,

ich komme leider mit folgender Aufgabe überhaupt nicht klar:

Für den Wurf von drei Würfeln wird an der Würfelbude der nebenstehende Gewinnplan verwendet. Die Zufallsgröße X gibt die Auszahlung pro Wurf an.

Wurf: 1-mal 6 Auszahlung: 3€
Wurf: 2-mal 6 Auszahlung: 11€
Wurf: 3-mal 6 Auszahlung: a€

a) Der Betreiber der Würfelbude plant im Durchschnitt 2€ pro Spiel auszuzahlen. Welche Auszahlung a muss ee für den Wurf von 3 Sechsen festlegen? Wie groß sind dann die Varianz und die Standardabweichung?

b) Der Betreiber möchte das Spiel mit 2€ Einsatz pro Spiel anbieten. Mindestens 30% des Einsatzes soll als Gewinn verbucht werden. Stellen Sie mi5 diesem Vorgaben einen Gewinnplan für das Spiel auf. Berechnen Sie für Ihren Vorschlag den Erwartungswert und die Standardabweichung.

Vielleicht könnt ihr mir helfen sie zu Lösen.

Liebe Grüße und Danke im Voraus
Jorani
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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prodomo

prodomo aktiv_icon

08:25 Uhr, 01.09.2013

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Dazu musst du zunächst berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit pk die Ereignisse "keine Sechs","genau eine Sechs", "genau zwei Sechsen" und "drei Sechsen" eintreten (125216,75216,15216,1216 zur Kontrolle). Daraus errechnet sich dann der Mittelwert μ als Summe der Produkte pk⋅ Auszahlung (k). Kontrolle μ=390+a216. Die Varianz ist dann die Summe der Produkte aus den Quadraten der Abweichungen der jeweiligen Gewinne von μ mal dem zugehörigen pk. Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz.

Bei a) musst du zunächst den Parameter a so festlegen, dass die Auszahlung μ den Wert 2 erhält . Damit müssten 2⋅216=432=390+a sein.
Bei b) nimmt er dann genau 432 Euro ein. Davon sollen mindestens 30% ausgezahlt werden. Den Gewinnplan kannst du selbst bestimmen. Die Rechnung läuft analog zu a)
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