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arctan(1/k tan(x)=x/k?

Universität / Fachhochschule

Tags: ChatGPT, Tangens

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11:22 Uhr, 17.07.2024

ChatGPT behauptet, dass

\arctan (\frac{1}{k} \tan x) = \frac{x}{k}

innerhalb des Bereichs

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

und

k \neq 0

ist. Den angeblichen Beweis kann ich nicht nachvollziehen (siehe Bilder). Ich kenne dies nur als Näherung für kleine

x

. Kann mir bitte jemand das erklären oder ist das Quatsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

11:26 Uhr, 17.07.2024

Mit Ausnahme von

k = 1

sowie

x = 0

ist das Unfug - was du dir im übrigen anhand einiger konkreter Rechenbeispiele auch sofort klar machen kannst. Betrachten wir etwa ein Beispiel, wo man nicht mal einen Taschenrechner benötigt:

x = \frac{π}{3}

und

k = 3

ergibt einerseits

\arctan (\frac{1}{k} \tan (x)) = \arctan (\frac{1}{3} \tan (\frac{π}{3})) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{π}{6}

und andererseits

\frac{x}{k} = \frac{π}{9}

, also nix mit Gleichheit.

Insgesamt ein eloquent erscheinendes Gesabbel von ChatGPT, und an einer Stelle wird einem unbewiesen

\frac{1}{k} \tan (x) \overset{? ? ?}{=} \tan (\frac{x}{k})

untergeschoben.

P.S.: Für

k > 1

sowie

0 < x < \frac{π}{2}

kann man sogar die Ungleichung

\arctan (\frac{1}{k} \tan (x)) > \frac{x}{k}

nachweisen, basierend auf der strengen Konvexität der Tangensfunktion im Intervall

[0, \frac{π}{2})

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