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auflösen nach x (produktlogarithmus)

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Funktionen

Tags: Funktion, Produktlogarithmus

Schwalz aktiv_icon

13:29 Uhr, 07.11.2017

Hallo,

ich hab nach Ableitung einer Funktion folgende Gleichung erhalten

- \frac{c (x - m * \ln (\frac{n}{x}) - m)}{{((\ln (\frac{n}{x}) - c) x - m * \ln (\frac{n}{x}))}^{2}}

Diese muss ich = 0 setzen und nach x Ableiten. Was mir auf den ersten Blick sehr schwer fällt.

Wolframalpha sagt mir jedoch, die Lösung ist ganz einfach W(e*n/m) mit W() gleich dem Produktlogarithmus, auch als Lambert-W Funktion bekannt.

Kann mir bitte jemand helfen, diese Lösung nachvollziehen zu können, oder generell nach x aufzulösen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

13:49 Uhr, 07.11.2017

Hallo
"Diese muss ich

= 0

setzen und nach

x

Ableiten"
Das verstehe ich nicht ganz du hast

x - m \cdot (ln (n) - ln (x)) - m = 0

nach

x

abgeleitet

1 - \frac{m}{x} = 0

aber das kannst du wohl nicht meinen ?
Gruß ledum

Schwalz aktiv_icon

13:53 Uhr, 07.11.2017

Entschuldige da muss stehen, nach x auflösen. Leider lässt sich der Beitrag scheinbar nicht mehr editieren.

ledum aktiv_icon

14:14 Uhr, 07.11.2017

Hallo
dann hast du

x - (m - m \cdot ln (n) = m \cdot ln (x)

\frac{1}{m} \cdot e^{x} \cdot e^{(m - m \cdot ln (n))} = x

das kann man irgendwie in die Lambert

w

umformen, die die Umkehrfunktion von

f (x) = x \cdot e^{x})

ist
aber eigentlich muss man was nach einsetzen der Konstanten numerisch lösen, da die Lw nicht zu den üblichen Funktionen gehört.
in welchem Zusammenhang brauchst du das denn?
Gruß ledum

Schwalz aktiv_icon

14:24 Uhr, 07.11.2017

x gibt den schlechstmöglichsten Preis einer Aktie an, für den die Obergrenze (n) und die Untergrenze (m) gilt. Das berechnete x muss wiederrum in eine Formel eingesetzt werden. Und am Ende will ich nur ne Allgemeine Formel angeben in Abhängigkeit von n und m. Deswegen nützt mir eine numerische Lösung nichts.

Ich brauche eine geschlossene Form und das ist für mich die Lambert-W Funktion.

Ist dein Term bereits eine zulässige Umformung?

Ich kann den gerade leider nicht ganz nachvollziehen.

ledum aktiv_icon

18:32 Uhr, 07.11.2017

Hallo
du hast
x−m*ln(n/x))−m=0

| : m

\frac{x}{m} = - ln ((\frac{n}{x}) + 1 = ln (\frac{x}{n}) + 1 |

exp

e^{\frac{x}{m}} = \frac{x}{n} \cdot e

das sollte Eine

W

Funktion ergeben. lass dir von Wolfram helfen.
Gruß ledum

Schwalz aktiv_icon

20:40 Uhr, 07.11.2017

Ah ich trottel, ich muss nur den Zähler = 0 setzen, und außerdem weiß ich das c ungleich 0 ist, daher reicht es aus, den Inhalt der Klammer null zu setzen.

Super vielen Dank. Den Rest versuch ich nun erstmal alleine!

Schwalz aktiv_icon

02:11 Uhr, 09.11.2017

Ich habe nun die Formel

\frac{x}{m} \cdot e^{\frac{x}{m}} = \frac{n \cdot e}{m}

Leider find ich aber nicht heraus wie ich mathematisch sauber nun herleiten kann, das gilt

x = m \cdot W (\frac{n \cdot e}{m})

Aber die rechte Seite oben entspricht ja genau dem, was in der Funktion W() stehen soll und die linke Seite ist eine Funktion der Art

x \cdot e^{x}

ich denke ich bin auf dem richtigen Weg.

Roman-22

04:56 Uhr, 09.11.2017

>

Leider find ich aber nicht heraus wie ich mathematisch sauber nun herleiten kann,
Damit bist du doch im Grunde schon fertig!
Die Lambertsche W-Funktion ist doch als Inverse von

X \cdot e^{X}

definiert. Also gilt

W (X) \cdot e^{W (X)} = X (1)

Du hast bereits

\frac{x}{m} \cdot e^{\frac{x}{m}} = \frac{n \cdot e}{m} (2)

erhalten. Dann setze

W (X) = \frac{x}{m}

und

X = \frac{n \cdot e}{m}

und du kommst von

(2)

auf

(1)

und hast direkt

W (\frac{n \cdot e}{m}) = \frac{x}{m}

und damit sofort

x = m \cdot W (\frac{n \cdot e}{m})

P . S . :

Als geschlossene Lösung würde ich den Ausdruck aber auch nicht bezeichnen, da die Lambertsche W-Funktion ja nur die nötige numerische Näherung verschleiert.

Schwalz aktiv_icon

09:01 Uhr, 09.11.2017

Sorry will nur zu 100 % sicher sein, dies mathematisch korrekt aufzuschreiben.

Momentan hab ich in meiner Arbeit stehen
"

\frac{x}{m} = \ln (\frac{M}{q^{w c}}) - 1

\Leftrightarrow e^{(\frac{x}{m})} = \frac{e \cdot M}{x}

\Leftrightarrow \frac{x}{m} \cdot e^{(\frac{x}{m})} = \frac{e \cdot M}{m}

Die linke Seite ist eine Funktion für die die Lambert-W Funktion die Umkehrfunktion repräsentiert. Wird auf beiden Seiten die Umkehrfunktion gebildet ergibt sich daraus:

x = m \cdot W (\frac{e \cdot M}{m})

"

Kann ich das einfach so hinschreiben, oder sollte bei der letzten Umformung eine genauere Erklärung folgen?

ledum aktiv_icon

12:50 Uhr, 09.11.2017

Hallo
da du ja die Umkehrfunjtuon for

\frac{x}{m}

benutzt würde ich zuerst

\frac{x}{m}

hinschreiben.
Aber wieso die numerisch errechnete

W

Funktion dein Problem löst ist unklar. nur wenige Programmiersprachen etwa haben dafür ein fertiges Paket.
Wenn das Teil einer Arbeit ist sollte man das auch klar sagen.
Gruß ledum

Schwalz aktiv_icon

13:26 Uhr, 09.11.2017

Sorry...

Ist denn der Satz "Es wird auf beiden Seiten die Umkehrfunktion gebildet" mahtematisch korrekt? Ich habe da so meine Zweifel...

ledum aktiv_icon

13:39 Uhr, 09.11.2017

Hallo
Umkehrfunktionen werden angewandt nicht gebildet.
also solltest du schreiben die Umkehrfunktion zu

f (x) = x \cdot e^{x}

ist die Lambertsche

W -

Funktion

W (f (x)) = x

die wende ich hier an.
damit

\frac{x}{n} = ...

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