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binomische formel beweis im ring

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: binmoische formel, Ring

John911 aktiv_icon

23:31 Uhr, 07.11.2011

Zeigen Sie, dass in jedem kommutativen Ring die zweite binomische

Formel gilt!

Und: Zeigen Sie, dass f¨ur beliebige Elemente a, b eines Rings gilt:

i) (−a) * b = −(a * b) = a * (−b)

ii) (−a) * (−b) = a * b (“Minus mal minus gibt plus”)

*= Multiplikation.

Wäre nett wenn mit jemand weiterhelfen könnte,). Gruß John ,

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

el holgazán aktiv_icon

00:08 Uhr, 08.11.2011

Für die binomische Formel brauchst du i) und ii).
Ich zeige dir mal einen Teil, dann kannst du den Rest alleine versuchen.

i)
Zu zeigen:

(- a) \cdot b = - (a \cdot b)

Wir zeigen, dass

(- a) \cdot b

das Inverse bezüglich Addition von

a \cdot b

ist; sprich genau die Behauptung:

(- a) \cdot b + a \cdot b = ((- a) + a) \cdot b

nach Distribution

= (a + (- a)) \cdot b

nach Kommutativität der Addition

= 0 \cdot b = 0

Wobei du das letzte Gleichzeichen noch zeigen musst, falls das nicht bekannt ist (Eindeutigkeit der Null ausnutzen).

Wir haben also gezeigt:

(- a) \cdot b + a \cdot b = 0

, sprich:

(- a) \cdot b

ist das Inverse bzgl. Addition von

a \cdot b

- das Inverse ist aber eindeutig, also folgt die Behauptung.

....
Nun noch die andere Gleichheit zeigen

Zu ii)

Beh:

(- a) \cdot (- b) = a \cdot b

Benutze i) mit a' = -a und b' = b
Also:

a \cdot b = (- (- a)) \cdot b = (- a ʹ) \cdot ʹ b = a ʹ \cdot (- b ʹ) = (- a) \cdot (- b)

Leaaaaaa aktiv_icon

13:04 Uhr, 08.11.2012

Kannst du bitte nochmal (ii) erklären, ich versteh das nicht mit dem

a'

und b'...und warum gilt in jedem kommutativen ring die zweite binomische Formel?

HILFEE ich verzweifel!

el holgazán aktiv_icon

01:47 Uhr, 12.11.2012

Brauchst du hierzu noch Hilfe? Dann schreib' ich dir nochmal die Argumentation auf.

Leaaaaaa aktiv_icon

15:08 Uhr, 12.11.2012

Ich versteh nicht wie man zeigt dass im Ring die zweite binomische Formel gilt.
Ich versteh irgendwie auch nicht was

(i)

und (ii) damit zu tun hat...
ich bitte um Erklärungen..

el holgazán aktiv_icon

00:02 Uhr, 13.11.2012

Vergiss alles was du über Rechnen mit Zahlen weisst.

Alles.

So. Nun nimm zwei Zahlen

a, b \in R

wobei R Ring.

Was ist

a + b - a

?

Wenn du sagtest b: NEIN! Wir sagten doch, vergiss alles was du weisst! D.h. du weisst nicht, ob

a + b = b + a

und ob

a - a = 0

.

Wenn du sagtest: Keine Ahnung... Dann ja, du hast das Konzept von alles vergessen verstanden.

Gut. Nun, weisst du alles was einen kommutativen Ring ausmacht, aber NICHT mehr. Also, schauen wir, was genau wir wissen:

(R, +)

ist abelsche Gruppe
Das heisst es gibt ein Null-Element, genannt 0.
Weiter: wir haben zu jedem

a \in R

ein eindeutiges Element, genannt

- a

so dass

a + (- a) = 0

.
Und wir wissen:

(a + b) + c = a + (b + c)

und wir schreiben ab sofort:

a + b + c

für beide Fälle.
Ebenso gilt

a + b = b + a

Weiter wissen wir, dass

\cdot

assoziativ ist.

Ausserdem gelten, und das ist jetzt wichtig, die Distributivgesetze:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Wichtig ist, dass wir fordern, dass R kommutativ ist. Also:

a \cdot b = b \cdot a

So.
Ausgerüstet damit musst du nun zeigen:

Für alle

a, b \in R

gilt:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}

Wobei

2 x := x + x

für alle

x \in R

So. Nun musst du überlegen:
Warum darf man schreiben

- 2 a b

? Das ist doch das Inverse bzw. Addition von

2 a b

, aber warum ist das das selbe wie wenn man schreibt

- (2 a) b

oder

- 2 (a b)

? Das ist nämlich überhaupt nicht klar.

Also das erste was du zeigen musst ist; dass es egal ist wo das - steht:
i)

- (a \cdot b) = (- a) \cdot b = a \cdot (- b)

Weiter musst du dir überlegen was passiert, wenn du zwei additive Inverse miteinander multiplizierst:

(- a) \cdot (- b)

Ist das das selbe wie

a b

? Wenn ja, warum?

Ausgerüstet mit diesem neuen Wissen ist es nun einfach die 2. binomische Formel zu beweisen (weil du ab jetzt weisst, dass

(- a) b = - a b

u.s.w

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