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exponentielles und logistisches Wachstum

Schüler Gymnasium,

Tags: expoentielles, logistisches Wachstum, Wachstum bei Populationen

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21:07 Uhr, 11.03.2013

Hilfe! Bitte!

5 Hasen am Anfang im Jahr

1705

. Ein Jahr später

12

Hasen.

a .)

Bestimme die jährliche Zuwachsrate in Prozent.

b .)

Wie viele Hausen wären bei expnentiellem Wachstum im Jahr

1711

zu erwarten?

c .)

Nach wieviel Monten verdoppelt sich der Bestand bei exponentiellem Wachstum?

d .)

Auch Jahrzente nach

1705

nie mehr als

100

Hasen gesichtet. Setze logistisches Wachstum voraus und berechne den Änderungsfaktor

k

auf 4 Nachkommastellen genau.

e .)

Wie viele Hasen

1711

bei logistischem Wachstum?

f .)

Begründe den Ansatz für logistisches Wachstum anhand der Lebensumstände einer Hasenpopulation auf einer einsamen Insel. Warum ist der Zuwachs proportional zum Bestand? Warum ist der Zuwachs auch proportional zum Sättigungsmanko?

Sorry, aber ich kann nur Aufgabe

a .)

Fragen konkret:

zu

b .)

f (x) = c \cdot e^{k \cdot t},

Stimmt die Formel bei exponentiellem Wachstum?

c = 5

ja? Wie berechne ich

(k \cdot t)

c .) 10 = 5 \cdot e^{k \cdot t}

ja? Wie berechne ich

(k \cdot t)

d .)

Was ist logistisches Wachstum? Welche Formel muss ich nehmen und wann nehme ich überhaupt logistisches Wachstum?

zu

f .)

Was ist ein Sättigungsmanko und was heißt proportional zum Bestand und proportional zum Sättigungsmanko?

Sorry, aber ich habe quasi keinen Durchblick gerade! Hilfe! Möchte aber was Lernen! :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Ma-Ma aktiv_icon

21:23 Uhr, 11.03.2013

Gib mal bitte kurz Dein Ergebnis zu

a)

jährliche Zuwachsrate bekannt.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

b)

exponentielles Wachstum - betrachten wir zuerst nur das erste Jahr

t = 1

\to

Formel

f (x)

wird bestückt mit Anfangsbestand

c = 5

und

t = 1

und Endbestand nach 1 Jahr

Schreib mal die Formel auf und überlege, wie Du

k

rausbekommst.

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06:59 Uhr, 12.03.2013

Meine Antwort zu

a .)

Die Zuwachsrate beträgt

140 %,

weil

5 \cdot x = 12

x = 2,4

2,4 - 1 = 1,4

Die jährliche Zuwachsrate beträgt

140 %

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07:51 Uhr, 12.03.2013

Ist meine Antwort zu

a .)

richtig?

Hier meine Antwort zu

b .)

12 = 5 \cdot e^{k}

2,4 = e^{k}

ln 2,4 = {ln e}^{k}

ln 2,4 = k

Ist das richtig?

prodomo aktiv_icon

07:52 Uhr, 12.03.2013

Die

140 %

sind richtig. Du hast auch richtig gesehen, dass es dann nach einem Jahr insgesamt

240 %

sind. In jedem Jahr wächst der Bestand also auf das 2,4fache. Das ließe sich mit

f (t) = 5 \cdot {2,4}^{t}

beschreiben, wobei

t

die Zahl der Jahre ist,

f (t)

die Zahl der Langohren.
Du hast aber

c \cdot e^{k \cdot t}

angesetzt mit

c = 5

. Wenn du

e

benutzt, sollte dir auch der Logarithmus zur Basis

e,

der

ln,

bekannt sein. Mit dem Potenzgesetz "eine Potenz wird potenziert, indem man die Hochzahlen multipliziert" kannst du aus

5 \cdot {2,4}^{t}

den Term

5 \cdot {(e^{ln 2,4})}^{t}

machen, der

5 \cdot e^{ln 2,4 \cdot t}

ergibt.

k

ist also

ln 2,4 = 0,8755

(auf 4 Stellen gerundet).
Der Ansatz für die Verdoppelung ist richtig. Kannst du die Gleichung durch Logarithmieren auflösen ? (Sollte eigentlich bekannt sein, wenn du

e

kennst)

Was ist logistisches Wachstum ? Logistik ist ja die Lehre vom Nachschub, von der Versorgung. Damit ist hier gemeint, dass der Zuwachs an Hasen nicht nur von deren kuscheliger Aktivität (proportional zum Bestand), sondern auch von den verfügbaren Ressourcen (Futter, Lebensraum) abhängt. Diese sind proportional zum Abstand der Population von der maximalen Versorgungskapazität der Umgebung.
Die Herleitung einer Gleichung dafür ist relativ lang und hier schlecht möglich. Offenbar hast du die im Unterricht nicht gehabt oder nicht verstanden bzw. abgeschaltet, als es zu mathematisch wurde, sonst würdest du jetzt nicht fragen, was das ist .
Deswegen fange ich hier mal mit der fertigen Formel an. Sie lautet

f (t) = \frac{A}{1 + B \cdot e^{- k \cdot t}}

. Dabei erschließt sich die Bedeutung der einzelnen Parameter am ehesten über die Betrachtung der Grenzwerte. Wächst nämlich

t

immer mehr, so wird

e^{- k \cdot t}

praktisch zu 0 und damit

F (t) = A

. A ist also der Wert,l der sich auf lange Sicht ergibt, hier sind das die im Text gegebenen

100

.
Ist dagegen

t = 0,

also der Anfang, dann wird

f (0) = \frac{A}{1 + B}

. So kannst du

B

aus A errechnen.
Bleibt noch das

k

. Es ist nicht dasselbe

k

wie im ersten Aufgabenteil. Da sich die Population am Anfang noch in einem Umfeld mit großen Ressourcen im Verhältnis zur Zahl der Tiere entwickelt, nimmt man einen weiteren Wert vom Anfang, also

f (1)

. Du hättest also

A = 100, f (0) = 5

und

f (1) = 12

. Damit wird

5 = \frac{100}{1 + B},

somit

B = 19

und dann

12 = \frac{100}{1 + 19 \cdot e^{- k}}

. Das musst du nach

k

auflösen (aufpassen,

ln

von Zahlen unter 1 ist negativ).

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08:08 Uhr, 12.03.2013

Danke für die superausführliche Antwort und ich versuche das gleich nachzurechnen, aber was ist

B

an Bedeutung?

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08:25 Uhr, 12.03.2013

Kannst du mir bitte sagen, was

B

bedeutet?

prodomo aktiv_icon

08:29 Uhr, 12.03.2013

Soweit ich weiß, hat

B

keine direkte Bedeutung im Sachzusammenhang. Es gibt auch noch eine andere Formel, in der die Parameter anders zusammengesetzt sind.

prodomo aktiv_icon

09:14 Uhr, 12.03.2013

Habe ein wenig gesucht, dieses Bild war das einzig mögliche (unter

500

kB)

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13:58 Uhr, 13.03.2013

Ich wollte mich bedanken für die vielen hilfreichen Hinweise. Manches habe ich am Anfang nicht gleich verstanden und musste es alles erst einmal selber rechnen. Aber alleine hätte ich das nie geschafft. Vielen Dank!

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