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geometrische Reihe Herleitung Summenformel

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Sonstiges

Tags: endliche geometrische Folge, Euklid, Herleitung, Summenformel

anke13 aktiv_icon

19:31 Uhr, 18.12.2010

Hallo Ihr Lieben,
Quäle mich gerade mit dem Beweis für die Summenformel der geometrischen Reihe.
Es ist klas dass ich nach Multiplikation mit

q

,die grössere von der kleineren abziehe und das Ergebnis dann

q

hoch

n + 1 - 1

ist. Unklar ist mir aber wie es dann zur tatsächlichen Formel in Form eines Bruchs kommt. Kann mir da jemand einen Tipp gegen?
Lieben Dank Anke13

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Shipwater aktiv_icon

19:36 Uhr, 18.12.2010

s_{n} = a_{1} + a_{1} \cdot q + a_{1} \cdot q^{2} + a_{1} \cdot q^{3} + ... + a_{1} \cdot q^{n - 1}

s_{n} \cdot q = a_{1} \cdot q + a_{1} \cdot q^{2} + a_{1} \cdot q^{3} + ... + a_{1} \cdot q^{n - 1} + a_{1} \cdot q^{n}

\Rightarrow s_{n} - s_{n} \cdot q = a_{1} - a_{1} \cdot q^{n}

also

s_{n} \cdot (1 - q) = a_{1} \cdot (1 - q^{n})

und somit:

s_{n} = \frac{a_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}

(für

q \neq 1)

Meintest du das?

Gruß Shipwater

anke13 aktiv_icon

20:04 Uhr, 18.12.2010

Vielen lieben Dank. Ja das ist die Formel. Nachdem ich meine Frage gestellt habe war mir auch klar, warum ein Bruch. Denke jetzt gerade über deine Antwort und Formel nach.
Hmmmh warum hast du nach der Multiplikation am Ende

a 1 \cdot q

hoch n?
Sorry irgendwie bin ich unfähig

q

hoch

n

mathematisch darzustellen.
Halt mich nicht für blöd, aber ich will die Formel verstehen und nicht nur auswendig leren.
Lieben Gruss dür deine schnelle Antwort
Anke

Shipwater aktiv_icon

23:58 Uhr, 18.12.2010

Der letzte Summand bei

s_{n}

ist ja

a_{1} \cdot q^{n - 1}

. Und wenn ich diesen jetzt mit

q

multipliziere erhalte ich eben

a_{1} \cdot q^{n - 1} \cdot q = a_{1} \cdot q^{n - 1 + 1} = a_{1} \cdot q^{n}

\Rightarrow

Potenzgesetz

x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}

Gruß Shipwater

anke13 aktiv_icon

07:48 Uhr, 19.12.2010

Vielen Dank ich habe es jetzt verstanden
Gruss Anke

Shipwater aktiv_icon

10:53 Uhr, 19.12.2010

Gern geschehen.

Trabsdor aktiv_icon

11:31 Uhr, 12.12.2012

Ich hätte genau zu diesem Thema auch noch eine Frage:

Die Herleitung ist mir vollkommen verständlich, allerdings frage ich mich woher der Schritt kommt, dass man Sn*q nimmt und dies dann von Sn abzieht!

Gibt es dafür irgendeine Regel, die ich nicht kenne oder ist das einfach logisch????

Shipwater aktiv_icon

11:33 Uhr, 12.12.2012

Da muss man halt drauf kommen, aber den Trick mit den Teleskopsummen braucht man immer wieder. Näheres findest du hier: de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme

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