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gleichmäßige Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

anonymous

15:37 Uhr, 08.04.2004

Hallo!

Wer kann mir einen Beweis dafür liefern, dass die Exponentialfunktion nicht gleichmäßig stetig auf ganz R ist?

Gruß,

Sina

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

MarcelHu

19:10 Uhr, 08.04.2004

Hallo Sina,

sei f(x)=exp(x). Angenommen, f wäre gleichmäßig stetig auf IR.

Sei also eps > 0 gegeben. Dann existiert ein d=d(eps), so dass für alle x,y mit |y-x| < d gilt:

|exp(x)-exp(y)| < eps.

Seien nun x° und y° aus IR fest (und es gelte nicht: x°=y°), so dass gelte |x°-y°| < d.

Wir definieren:

(I) z:=2eps/|exp(x°)-exp(y°)|

(beachte hierbei: exp ist streng monoton; und weil x° ungleich y° ist dann auch |exp(x°)-exp(y°)| > 0).

(II) h:=ln(z).

Dann gilt:

Aus (I) folgt z > 2

(beachte: aus |x°-y°| < d folgt: |exp(x°)-exp(y°)| < eps, also:

eps/|exp(x°)-exp(y°)| > 1).

Insbesondere ist dann h wohldefiniert (wegen z > 2 > 0).

Außerdem gilt wegen z > 2 > 1 auch h > 0 (weil ln streng monoton wachsend und somit ln(z) > ln(2) > ln(1)=0)

(d.h. im Schaubild des Graphen (schau dir dazu die folgende Definition der Punkte x^ und y^ schon einmal an):

Der Punkt x^ liegt 'rechts von x°' und der Punkt y^ liegt 'rechts von y°'; und wenn man sich das Krümmungsverhalten von exp anguckt, so sieht man, dass man auch 'nach rechts' gehen muss, wenn man Punkte finden will, die die glm. Stetigkeit widerlegen sollen!).

Weiter folgt für

x^:=x°+h; y^:=y°+h:

Es gilt: |x^ - y^|=|x°-y°| < d,

aber es gilt auch:

|f(x^)-f(y^)|=|exp(x^)-exp(y^)|=exp(h)*|exp(x°)-exp(y°)|

=(2eps/|exp(x°)-exp(y°)|)*|exp(x°)-exp(y°)|=2eps > eps

(Beachte bei dieser Rechnung:

exp(x^)=exp(x°+h)=exp(h+x°)=exp(h)*exp(x°),

exp(y^)=exp(y°+h)=exp(h+y°)=exp(h)*exp(y°) und |exp(h)|=exp(h).)

Widerspruch (denn wäre f glm. stetig auf IR, so müßte für x^ und y^ wegen

|x^ - y^| < d auch gelten: |f(x^)-f(y^)| < eps)!

Viele Grüße

Marcel

Marian

19:14 Uhr, 08.04.2004

Hallo Sina!

Ich versuche dir zu helfen.

Wir zeigen zuerst, dass die Exponentialfunktion auf der Menge [0; +oo) nicht gleichmäßig stetig ist; damit wird sie auch nicht überall in R gleichm. stetig.

Wir müssen folgende Differenz studieren:

f (x + h) - f (x)

In unserem Fall ist die Funktion f(x) die Exponentialfunktion; also f(x) = exp(x). Die Zahl h ist eine reelle Zahl, für die gilt: h > 0.

Weiter fragt man:
Kann man die oben angeführte Differenz für alle betrachteten x beliebig klein machen? Die Antwort ist negativ (ich meine bei der Funktion exp(x)).

f (x + h) - f (x) = e^{x + h} - e^{x} = e^{x} (e^{h} - 1)

Aber für grosse x verschwindet der Ausdruck nicht, auch wenn h ganz nahe 0 liegt. Das war grob gesagt, dass diese Funktion nicht gleichm. stetig auf der Menge [0; +oo) ist. Sie ist also auch nicht auf ganz R stetig (natürlich gleichmässig).

Ähnlich ist es z.B. mit der Funktion f(x) = x^2.

Alles was ich hier aber geschrieben habe, ist eher nicht mathematisch geschrieben. (Dazu fühle ich mich sprachlich noch nicht richtig vorbereitet.)

Vielleicht habe ich dir wenigstens ein bißchen geholfen.

Marian

MarcelHu

19:39 Uhr, 08.04.2004

Hallo Marian,

was meinst du, wenn du schreibst:

"Ähnlich ist es z.B. mit der Funktion f(x) = x."

f(x)=x ist glm. stetig auf IR, denn:

Zu jedem e > 0 definiert man einfach d:=e (und dann ist natürlich d > 0). Dann gilt für alle x,y mit |x-y| < d:

|f(x)-f(y)|=|x-y| < d=e

Deine Argumentation passt aber auch auf f(x)=x, um die glm. Stetigkeit nachzuweisen:

h > 0:

f(x+h)-f(x)=x+h-x=h; und da ist es egal, wie groß x ist. Ich bin mir nur nicht im Klaren, ob diese Argumentation wirklich immer griffig ist. So vom Gefühl her würde ich schätzen: ja. Aber ich will mir dazu auch nicht näher Gedanken machen ;-)

Viele Grüße

Marcel

Marian

21:51 Uhr, 08.04.2004

Hallo Marcel!

Natürlich wollte ich schreiben nicht f(x) = x, aber:

f (x) = x^{2}

Ähnlich wie z. B. die Funktionen:

g (x) = \cos (x^{2}) h (x) = \sin (x^{2})

Ich habe es vor eineigen Stunden festgestellt. Ich hatte Durst. Wir haben Bier getrunken, und habe mich gerade erinnert, dass ich es schlecht geschrieben habe.

Sorry!

Viele Grüße
Marian

P.S.1.: Ich korrigiere es sofort!!!
P.S.2.: Ich habe wirklich nicht versucht, meine Gedanken mit mathematischer Sprache auszudrücken. Gleichmässige Stetigkeit; das kan ich auf Tschechisch; das war wirklich nur ein kleiner Versuch, alles und vor allem sehr laisch zu erklären. Nochmals, bitte, Entschuldigung!

MarcelHu

22:22 Uhr, 08.04.2004

Hallo Marian,

ein laiische Erklärung finde ich vollkommen in Ordnung; so etwas versteht man meist schneller als die Handhabung der abstrakten Definition. Ich hatte mir schon fast gedacht, dass du x² meinst; wollte dich aber nur noch einmal darauf aufmerksam machen ;-)

Ich kenne deine mathematischen Fähigkeiten, du brauchst dich also in keinster Weise zu entschuldigen ;-)

Frohe Ostern und

Viele Grüße

Marcel

Marian

17:10 Uhr, 09.04.2004

Hallo Marcel!

Die gleichmässige Stetigkeit kann uns viele Probleme bereiten. Die Beweise von dir, eventuell anderen Leuten, sind aber ein bißchen schwerfällig (ich meine es überhaupt nicht böse). Ich führe hier also ein paar Kriterien und interessanten Sachen ein, die mit der Problematik eng zusammenhängen. (Im Weiteren ist f(x) immer reelle Funktion einer reellen Variablen.)

I. Definition, Kriterium und Beispiele:

Sei f(x) stetig im Interval I. Bei festem und gegebenen definieren wir die Zahl

μ (δ; I; f) : = \sup_{(x; y) \in I \times I} | f (x) - f (y) |

und

| x - y | < δ .

Die Funktion f(x) ist gleichmässig stetig dann und nur dann, falls

\lim_{δ \to 0 +} μ (δ; I; f) = 0.

Dies ist äquivalent mit

\lim_{h \to 0 +} \sup_{x \in I} | f (x) - f (x + h) | = 0, 0 < h < δ .

Beispiele:

a) f(x) = 1/x, I = (0; 1)

μ (δ; I; f) = \sup_{x \in I} | f (x) - f (x + h) | = \sup_{x \in I} | \frac{1}{x} - \frac{1}{x + h} | = h \cdot \sup_{x \in I} \frac{1}{x (x + h)} = = + \infty \Rightarrow \lim_{h \to 0 +} μ = + \infty \neq 0

Deshalb kann diese Funktion auf dem Interval I nicht gleichmässig stetig sein.

b) f(x) = x^2, I = (0; +oo) =>

μ (δ; I; f) = + \infty \neq 0

(auch nicht gleichm. stetig).

c) f(x) = cos(x^2), I = (0; +oo) =>

\lim_{h \to 0 +} μ = 2 \neq 0

(auch nicht gleichm. stetig).

d) f(x) = sin(x^2), I = (0; +oo) =>

\lim_{h \to 0 +} μ = 2 \neq 0

(auch nicht gleichm. stetig).

e) f(x) = e^x = exp(x), I = (–oo; +oo) =>

μ (δ; I; f) = \sup_{x \in I} | e^{x + h} - e^{x} | = | e^{h} - 1 | \cdot \sup_{x \in I} e^{x} = + \infty \Rightarrow \Rightarrow \lim_{h \to 0 +} μ \neq 0

(auch nicht gleichm. stetig).

Marian

17:35 Uhr, 09.04.2004

Weiter noch einige Bemerkungen und Begriffe:

1) Die Funktion "mi(delta; I; f)" heißt STETIGKEITSMODUL der Funktion f(x) im Interval I.

2) Wenn die Ableitungswerte einer Funktion f(x) beschränkt sind, gilt dann, dass die Funktion

\frac{μ (δ; I; f)}{δ}

beschränkt ist. Konvergiert

\frac{μ (δ; I; f)}{δ} \to 0^{+} (δ \to 0^{+})

ist dann f(x) konstante Funktion!!!

3) Besitze f(x) in [a;b] = I stetige Ableitung (im Punkt x = a, bzw. x = b meinen wir natürlich f´(a+), bzw. f´(b –)), also existiert

\max_{x \in I} | f^{'} (x) | = K .

Dann gilt:

\lim_{δ \to 0 +} \frac{μ (δ; I; f)}{δ} = K .

Ist also die Ableitung der Funktion f(x) im Sinne dieser Bemerkung beschränkt, ist dann:

0 \leq | μ (δ; I; f) | \leq K δ \Rightarrow 0 \leq \lim_{δ \to 0 +} | μ (δ; I; f) | \leq \lim_{δ \to 0 +} K δ = 0 \Rightarrow \Rightarrow 0 \leq \lim_{δ \to 0 +} | μ (δ; I; f) | \leq 0 \Rightarrow \lim_{δ \to 0 +} | μ (δ; I; f) | = 0.

Also es ist zu sehen, dass die Funktion f(x) im Interval I gleichmässig stetig ist!
______________________________________________________________________________

SCHLÜSSE:

Die Funktionen in Beispielen a) bis e) haben aber die Ableitungen nicht beschränkt. (Das sagt uns dann viel über die gleichmässige Stetigkeit.)

Weiter: wenn eine Funktion beschränkte Ableitung im Interval I hat, ist sie auf diesem Interval auch gleichmässig stetig. (Beispiel: f(x) = x, etc.).

Viele Grüße
Marian

Marian

17:56 Uhr, 09.04.2004

Nochmals ich Marcel!

Wie machst du es bei der gleichmässiger Stetigkeit? Benutzt du ausschliesslich die Definition, oder ähnliche Kriterien und Regeln? Diese Regeln kommen mir von viel einfacher (eigentlich die Ableitung untersuchen)!

Hoffentlich jetzt habe ich alles schon verbessert. Gestern habe ich mehrere Fehler gemacht. Und Ostern sind gleich da.

Frohe Ostern und viele Grüße wünscht Marian

MarcelHu

18:54 Uhr, 09.04.2004

Hallo Marian,

der Begriff des Stetigkeitsmoduls ist mir bekannt und diese Kriterien kenne ich auch bereits aus der Approximationstheorie (und auch teilweise aus Analysis).

Natürlich benutze ich nicht ausschließlich die Definition (hier habe ich mir allerdings überhaupt keine Gedanken zu den Kriterien gemacht, weil ich ziemlich schnell den Weg rein über die Definition gefunden hatte; deshalb hatte ich auch an keines der Kriterien mehr gedacht und auch nicht mehr überlegt, ob du hier eines benutzt ;-)).

Nur, wenn jemand die Frage hier stellt, dann weiß ich ja erstmal nicht, welche Kriterien der-/diejenige zur Verfügung hat und dann probiere ich es erstmal anhand der Definition (diese sind ja meist gleich; andernfalls wird nachgefragt und ich verweise auf eine Aussage, die die Äquivalenz der Definitionen zeigt oder beweise es hier nochmal).

Und so schwer fand ich es bei dieser Aufgabe hier nicht, den Beweis rein anhand der Definition zu führen; der Beweis ist zwar etwas trickreich (ich habe natürlich erst x^:=x+h mit h > 0 definiert und dann hinterher geguckt, wie ich dieses h definieren muss, damit der Widerspruch da steht), so wie das meist bei diesen Beweisen anhand der Definition ist. Da der obige Beweis aber auch nicht besonders lang war, habe ich mich entschlossen, ihn niederzuschreiben.

Außerdem denke ich, dass jeder auch mal einen Beweis an einer konkreten Funktion nur anhand der Definition eines Begriffes (hier: glm. Stetigkeit) wenigstens versuchen sollte. Diese Kriterien, die du aufgezählt hast, sind ja auch nicht vom Himmel gefallen, sondern wurden entwickelt; und zumindest einer dieser (Entwickler-)Köpfe (;-)) muss die Definition wirklich verstanden haben ;-)

Was einige Leute leider auch immer vergessen:

Stetige Funktionen (zwischen metrischen Räumen) auf kompakten Mengen sind dort gleichmäßig stetig. ;-)

www.mathematik.uni-trier.de~mueller/pdfANAI.pdf

-> Satz 11.19)

Diese Aussage wird (vor allem in der Approximationstheorie, zumindest bei uns) sehr oft verwandt; und es gab in unserer Vorlesung dennoch alle zwei Wochen die Frage:

"Warum ist die Funktion denn auf [a,b] glm. stetig? Dass die stetig ist, sehe ich ja, aber wieso glm. stetig? " ;-)

Also:

Je nach dem Schwierigkeitsgrad der Aufgabe und der Länge der Lösung entscheide ich (meiner Meinung nach), ob es sinnvoll ist, nur mit der Definition zu argumentieren (dass mache ich manchmal auch nur aus dem Grund, damit ich hier keine (für den Fragesteller) neue Kriterien aufzählen bzw. beweisen muss)) oder ob ich auf gewisse Sachverhalte verweise (ab und zu mache ich das doch auch ;-)).

Es ist natürlich ansichtssache, ob jemand meint:

"Die Kriterien zu erkennen ist doch viel wichtiger und damit geht es doch viel schneller..."

oder

"Bevor man Kriterien anwendet, sollte man den Begriff erst einmal verstanden haben...".

Meiner Ansicht nach ist es wichtiger, erst die Begriffe überhaupt zu verstehen und dann hinterher die Kriterien, wenn man sie denn zur Verfügung hat, auch zu erkennen und anwenden zu können.

Es ist aber gut, dass du das Beispiel e) nochmal ausführlich hingeschrieben hast, denn jetzt erkenne ich auch, dass du das Stetigkeitsmodul gestern benutzt hast (ich hatte ja gesagt: ich will mir nicht näher Gedanken dazu machen).

Aber ehrlich gesagt:

Bei dieser Aufgabe hatte ich schon gar nicht mehr an das Stetigkeitsmodul gedacht. Wenn ich es allein mit der Definition nicht hinbekommen hätte, hätte ich halt nochmal ein bisschen geblättert und es vermutlich gefunden.

Aber bei der nächsten Aufgabe dieser Art denke ich dann (hoffentlich) direkt an das Stetigkeitsmodul ;-)

Allerdings interessiert es mich jetzt, ob Sina den Begriff des Stetigkeitsmoduls schon kannte (natürlich bevor Marian ihn hier definiert hat)...

Viele Grüße und frohe Ostern

Marcel

anonymous

14:56 Uhr, 11.04.2004

Dankeschön für die Lösung. Das hat mir weitergeholfen!

Gruß,

Sina

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