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grad des graphen anhand von zeichnung erkennen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: erkennen, Funktion, Grad einer

 
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anonymous

anonymous

10:58 Uhr, 21.10.2009

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Hallo zusammen!

Wie kann ich nur anhand einer Zeichnung den Grad einer Funktion erkennen ?

Könnte mir das vlt. jmd. an der Zeichnung erklären ?

graph

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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smoka

smoka

11:32 Uhr, 21.10.2009

Antworten
Der Grad der Funktion gibt die maximale Anzahl der Nullstellen an. Eine Funktion dritten Grades zum Beispiel hat maximal drei Nullstellen, kann aber auch nur eine haben. Wenn der höchste Exponent der Funktion gerade ist, streben beide Grenzwerte (sowohl limx→∞f(x) als auch limx→-∞f(x)) gegen den gleichen "Wert", entweder ∞ oder -∞. Bei ungeradem höchsten Exponenten streben die zwei Grenzwerte gegen unterschiedliche Vorzeichen (wie in Deinem Beispiel).
Deine Beispielfunktion hat drei Nullstellen und strebt für limx→∞f(x) und limx→-∞f(x) gegen verschiedene "Grenzwerte" ⇒ Es muss sich um eine Funktion dritten Grades handeln.
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

11:38 Uhr, 21.10.2009

Antworten
Danke! jetzt versteh ich es ;-)
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psychomantis

psychomantis aktiv_icon

11:43 Uhr, 21.10.2009

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Hi ~jojo17~,

dein Graph beschreibt, wie die Funktion schon ausdrückt, eine Funktion 3. Grades.
Um das am Graphen zu erkennen gibt es dazu einige Merkmale die ein Funktionsgraph und dessen Ableitungen haben kann.

(1) Durch abzählen der Nullstellen siehst du, wie groß der Grad mindestens sein muss, denn eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstellen.

(2) Eine Funktion n-ten Grades hat maximal n-1 Extrempunkte, da bei der Ableitung, deiner Funktion:

2x3+3x2-12x

ja nur noch eine Funktion 2. Grades übrig bleibt.
Weil nun die Nullstellen der 1. Ableitung, die Lage der Extremwerte angeben und eine quadratische Funktion maximal 2 Nullstellen haben kann, kann dein Graph auch nur maximal 2 Extrema haben.

f'(x)=6x2+6x-12:6
f'(x)=x2+x-2=0

x1,2=-12±94=-12±32

→2 Nullstellen

Analog verhält sich das mit dem Wendepunkt:
Eine Funktion 3. Grades kann maximal 1 WP haben.

Auch das Verhalten für betragsgroße x lässt auf den Grad einer Funktion schließen, denn es gilt für eine Funktion n-ten Grades:

P(x)=anxn+an-1xn-1+... +a2x2+a1x+ao
P(x)=xn(an+an-1⋅1x+... +a2⋅1xn-2+a1⋅1xn-1+a0⋅1xn

Für n→±∞, sind alle Summanden Nullfolgen, bis auf an.

Für gerade n, hängt der Grenzwert nur davon ab, ob an positiv oder negativ ist.
Für ungerade n, musst du zwischen beiden Fällen unterscheiden.

Schlussfolgernd heißt das:

(i) Kommt ein Graph von links oben und geht nach rechts oben, ist der Grad der Funktion gerade. (an positiv)
(ii) Kommt ein Graph von links unten und geht nach rechts unten, ist der Grad der Funktion ungerade. (an negativ)
(iii) Kommt ein Graph von links unten und geht nach rechts oben, ist der Grad der Funktion ungerade. (an positiv) → Beispiel
(iv) Kommt ein Graph von links oben und geht nach rechts unten, ist der Grad der Funktion ungerade. (an negativ)
___________________________________

Zusammenfassend kann man für dein Beispiel also sagen:

(1) 3 Nullstellen → Grad mindestens 3
(2) 2 Extrema → Grad (wahrscheinlich) 3
(3) 1 Wendepunkt → Grad (wahrscheinlich) 3
(4) Punkt (iii) → Grad ungerade
_____________________________
:= Funktion 3. Grades


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Gegenbeispiel: x4, hat nur ein lokales Minimum