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integral berechnen mit ober und untersumme

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Bestimmtes Integral, Obersumme und Untersumme

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baron24

baron24 aktiv_icon

13:34 Uhr, 29.03.2011

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Hallo.
Ich muss ein Integral berchen mit ober und untersumme von 0 zu 5.Die Funktion ist y=0,4x².
Ich weis zwar wir man das mit einem Taschenrechner auschrechnet, aber nicht mit Ober und Untersumme. Bräuchte eine genaue Beschreibung bzw. Anleitung

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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln zum Integral
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenberechnung und bestimmtes Integral

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

16:54 Uhr, 29.03.2011

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Erstmal zerlegst du das Intervall in

n

gleich breite Teile, dann hat jedes die Breite

\frac{5}{n}

. Für die Untersumme addierst du jetzt die Flächeninhalte entsprechender Rechtecke:

U_{n} = f (\frac{0}{n}) \cdot \frac{5}{n} + f (\frac{5}{n}) \cdot \frac{5}{n} + f (\frac{10}{n}) \cdot \frac{5}{n} + f (\frac{15}{n}) \cdot \frac{5}{n} + ... + f (\frac{5 n - 5}{n}) \cdot \frac{5}{n} = \frac{5}{n} \cdot (f (0) + f (\frac{5}{n}) + f (\frac{10}{n}) + f (\frac{15}{n}) + ... + f (\frac{5 n - 5}{n}))

U_{n} = \frac{5}{n} \cdot (0 + 0,4 \cdot {(\frac{5}{n})}^{2} + 0,4 \cdot {(\frac{10}{n})}^{2} + 0,4 \cdot {(\frac{15}{n})}^{2} + ... + 0,4 \cdot {(\frac{5 n - 5}{n})}^{2}) = \frac{2}{n^{3}} \cdot (5^{2} + 10^{2} + 15^{2} + ... + {(5 n - 5)}^{2})

U_{n} = \frac{2}{n^{3}} \cdot (25 + 25 \cdot 2^{2} + 25 \cdot 3^{2} + ... + 25 {(n - 1)}^{2}) = \frac{50}{n^{3}} \cdot (1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + {(n - 1)}^{2})

Für die Summe aller Quadratzahlen bis

{(n - 1)}^{2}

gilt (Formel

z . B

. beweisbar durch vollständige Induktion):

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + {(n - 1)}^{2} = \frac{(n - 1) n (2 n - 1)}{6}

Das ersetzen wir dementsprechend:

U_{n} = \frac{50}{n^{3}} \cdot \frac{(n - 1) n (2 n - 1)}{6} = \frac{25 (n^{2} - n) (2 n - 1)}{3 n^{3}} = \frac{25 (2 n^{3} - 3 n^{2} + n)}{3 n^{3}} = \frac{50 n^{3} - 75 n^{2} + 25 n}{3 n^{3}} \to \frac{50}{3}

für

n \to \infty

Das gleiche Spiel kann man jetzt noch für die Obersumme machen, dann kommt auch der selbe Grenzwert für

n \to \infty

heraus. Damit ist

\int_{0}^{5} 0,4 x^{2} d x = \frac{50}{3}

Frage beantwortet

baron24

baron24 aktiv_icon

17:07 Uhr, 29.03.2011

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Danke das hat sehr geholfen

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

17:08 Uhr, 29.03.2011

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Gern geschehen.

baron24

baron24 aktiv_icon

17:36 Uhr, 29.03.2011

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Was würde ich denn für

N

einsetzen?
Bzw. was wären gleich große Teile? Also zum Beispiel 5 gleich große teile zu je

1,

dann wäre

n = 5

oder wie ?

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

17:44 Uhr, 29.03.2011

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Richtig, wenn du das Intervall in 5 Teile zerlegst, hat jedes die Breite

\frac{5}{5} = 1

. Wenn du es in

n

Teile zerlegst, hat jedes Teil eben die Breite

\frac{5}{n}

. Und wenn

n \to \infty

geht, stimmt die Untersumme ja mit dem tatsächlichen Flächeninhalt überein.
Siehe auch: www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/integration/warum/warum.html

baron24

baron24 aktiv_icon

17:54 Uhr, 29.03.2011

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Muss ich dann bis

{f (\frac{25}{5})}^{2}

rechnen?

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

18:18 Uhr, 29.03.2011

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Bei der Untersumme ist die Höhe des letzten Rechtecks

f (5 - \frac{5}{n}) = f (\frac{5 n - 5}{n})

Bei der Obersumme ist die Höhe des letzten Rechtecks

f (5)

873076

872945