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mehrdimensionale Extremwerte, Wolfram Alpha

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

MathMP

10:47 Uhr, 11.09.2023

Hallo, ich versuche mehrdimensionale Extremwertrechnungen mit Wolframalpha zu überprüfen, allerdings gelingt es mir nicht diese in Wolframalph auszurechnen.

Zum Beispiel

f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2} - y

mit der Nebenbedingung

x^{2} + y^{2} \leq 1

Bestimme alle Extrempunkte!

Weiß jemand wie ich sowas in Wolframalpha berechnen kann?
Alternativ: Kennt jemand einen anderen Rechner um solche Rechnungen zu überprüfen?

Danke
MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Respon

11:00 Uhr, 11.09.2023

Wolfram
maximize

x^{2} + 2 \cdot y^{2} - y, x^{2} + y^{2} \leq 1

minimize

. .

MathMP

11:47 Uhr, 11.09.2023

Vielen Dank hilft mir schonmal sehr weiter.

Lokale Maxima/Minima kann man so aber nicht herausfinden, nur globale oder?

Respon

11:49 Uhr, 11.09.2023

Sowohl als auch ( falls existent ).
www.wolframalpha.com/input?i=maximize+x%5E2%2B2*y%5E2-y%2Cx%5E2%2By%5E2%3C%3D1
( eventuell mit copy-paste aufrufen )

ein anderer möglicher Befehl:
stationary points

. .

Randolph Esser aktiv_icon

09:17 Uhr, 12.09.2023

Wenn Du die Funktion mit

cos, sin

auf

\partial B (0,1)

trimmst,

liefert Wolfram Alpha auch schon über den Standardoutput die globalen Extrema.

Am Graph sieht man dann auch noch den einzigen lokalen Kandidaten

auf auf

\partial B (0,1)

.

Anbei noch meine kurze Rechnung...

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Extrema von

f

auf

B (0,1) :

(D f (x, y) = (2 x, 4 y - 1) = 0 \Leftrightarrow (x, y) = (0, \frac{1}{4}), D^{2} f (x, y) = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix})

positiv definit )

\Rightarrow f

hat in

(x, y) = (0, \frac{1}{4})

ein striktes lokales Minimum mit

f (0, \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8}

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Extrema von

f

auf

\partial B (0,1) :

D (f (cos (α), sin (α))) = ({cos (α)}^{2} + 2 {sin (α)}^{2} - sin (α))' = cos (α) (2 sin (α) - 1) = 0

\Leftrightarrow α \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})

g (α) := D^{2} (f (cos (α), sin (α))) = (2 cos (α) sin (α) - cos (α))' = 2 ({cos (α)}^{2} - {sin (α)}^{2}) + sin (α)

\Rightarrow

g (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2} > 0, g (\frac{π}{2}) = - 1 < 0, g (\frac{5 π}{6}) = \frac{3}{2} > 0, g (\frac{3 π}{2}) = - 3 < 0

\Rightarrow

f |_{\partial B (0,1)}

hat

in

(x, y) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

ein striktes lokales Minimum mit

f (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{3}{4},

(x, y) = (0, 1)

ein striktes lokales Maximum mit

f (0,1) = 1

(x, y) = (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

ein striktes lokales Minimum mit

f (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{3}{4},

(x, y) = (0, - 1)

ein striktes lokales Maximum mit

f (0, - 1) = 3

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Globales Maximum von

f

auf

\bar{B (0,1)}

ist

f (0, - 1) = 3

und globales Minimum von

f

auf

\bar{B (0,1)}

ist

f (0, \frac{1}{4}) = - \frac{1}{8}

Mathe45

09:24 Uhr, 12.09.2023

siehe auch

. .

Randolph Esser aktiv_icon

09:35 Uhr, 12.09.2023

Zwei Bilder.

HAL9000

11:35 Uhr, 12.09.2023

Anmerkung: Die beiden Punkte

(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

mögen lokale Minimumstellen von

f ∣_{\partial B (0, 1)}

sein, aber sind keine lokalen Minimumstellen von

f

mit NB

x^{2} + y^{2} \leq 1

. Das sieht man sofort an

f (\pm (\frac{\sqrt{3}}{2} - ε), \frac{1}{2}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2} - ε)}^{2} < \frac{3}{4} = f (\pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})

für alle

0 < ε < \frac{\sqrt{3}}{2}

, denn das bedeutet, dass in jeder Umgebung dieser Stellen kleinere Funktionswerte anzutreffen sind, was bei lokalen Minimumstellen nicht sein darf.

Anders sieht es bei

(0, 1)

aus: Das ist tatsächlich eine lokale Maximumstelle von

f

Randolph Esser aktiv_icon

12:32 Uhr, 12.09.2023

Yo, es bleiben drei Extrema, zwei am Rand und eins innedrinne,

Danke !

MathMP

16:16 Uhr, 13.09.2023

Dankesehr.

Randolph Esser aktiv_icon

03:49 Uhr, 14.09.2023

Für die Vollständigkeit:

Für

q \in [0,1)

gilt

{(q cos (α))}^{2} + 2 {(q sin (α))}^{2} - q sin (α)

= q^{2} ({cos (α)}^{2} + 2 {sin (α)}^{2}) - q sin (α)

< {cos (α)}^{2} + 2 {sin (α)}^{2} - sin (α)

\Leftrightarrow

(1 - q) sin (α) < (1 - q^{2}) ({cos (α)}^{2} + 2 {sin (α)}^{2})

.

Damit sind die zwei Minima von

f |_{\partial B (0,1)}

keine Minima von

f,

aber die zwei Maxima von

f |_{\partial B (0,1)}

auch Maxima von

f

(wobei

f : \bar{B (0,1)} \to R

sei).

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