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momenterzeugende Funktion der Normalverteilung

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

limes007 aktiv_icon

14:57 Uhr, 04.12.2020

Hallo zusammen.

Ich habe folgenden Rechnung um die momenterzeugende Funktion der normalverteilten Zufallsvariable X zu bestimmen. Leider verstehe ich nicht ganz, wie man auf die erste Umformung kommt. Muss man da das Integral berechnen oder wie kommt man auf diese Umformung.

Vielen Dank für Eure Hilfe :-)

limes

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

15:06 Uhr, 04.12.2020

Die Umformung sieht falsch aus, denn

E (e^{t σ} \cdot \frac{X - μ}{δ}) = 0

limes007 aktiv_icon

15:38 Uhr, 04.12.2020

warum sollte das 0 sein? Das verstehe ich nicht.

Liebe Grüße

DrBoogie aktiv_icon

15:44 Uhr, 04.12.2020

X \sim N (μ, σ)

E (X) = μ

E (X - μ) = E (X) - E (μ) = μ - μ = 0

Und

e^{t σ}

bzw.

1 / σ

sind feste Faktoren, also

E (e^{t σ} \frac{X - μ}{σ}) = e^{t σ} \frac{1}{σ} E (X - μ) = 0

limes007 aktiv_icon

15:58 Uhr, 04.12.2020

Okay. Danke. Das macht Sinn.
Aber wie berechne ich dann die momenterzeugende Funktion? Muss ich die dann über das Integral berechnen?

HAL9000

15:59 Uhr, 04.12.2020

Du hast einfach falsch abgeschrieben: Die Multiplikation hinten findet auf Exponentenebene statt, d.h.

E [e^{t X}] = E [e^{t μ + t σ \cdot \frac{X - μ}{σ}}] = e^{t μ} \cdot E [e^{t σ \cdot \frac{X - μ}{σ}}]

.

Der Sinn dieser Umformung ist wohl, das auf die momentenerzeugende Funktion der Standardnormalverteilung zurückzuführen.

limes007 aktiv_icon

16:05 Uhr, 04.12.2020

Okay. Danke. Aber dann verstehe ich leider immer noch nicht ganz, wie ich auf diese Umformung komme beziehungsweise warum das das Gleiche ist wie E[e^tX]

HAL9000

16:10 Uhr, 04.12.2020

Schlicht ein bisschen ausrechnen und vereinfachen!!!