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schnittpunkt zweier geraden, parametergleichung E

Schüler

Tags: eben, Gerade, Parametergleichung, Schnittpunkt

emiliiie aktiv_icon

22:10 Uhr, 06.10.2015

Hallo,

ich soll bei einer aufgabe prüfen on sich zwei geraden

g 1

und

g 2

schneiden und falls möglich eine parametergleichung der ebene durch die beiden geraden angeben.

nun habe ich das zwar gemacht, aber es steht in den lösungen das sich

g 1

und

g 2

nicht schneiden würden! bei mir schneiden sie sich aber

g 1 :

Vektor

x = (1 | 2 | 5) + t \cdot (3 | 4 | 0)

g 2 :

Vektor

x = (2 | 3 | 1) + t \cdot (3 | 4 | 5)

das sind die beiden geradengleichungen in parameterform ( ich beherrsche hier leider noch immer nicht die vektorschreibweise, also stellt euch verktoren vor)

auf jeden fall habe ich die dann gleichgesetzt und habe als Schnittpukt

S (\frac{22}{5} | \frac{98}{15} | 5)

raus und habe dann halt ganz normal die parametergleichung aufgestellt.

aber das kann ja nicht sein,w eil sich laut den löösungen die geraden nicht schneiden! kann also jemand mal so nett sein und diese aufgabe nachrechenen ?Das wäre sehr nett und würde mir weiterhelfen

vielen dank im voraus

LGEEMILIE

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

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Respon

22:16 Uhr, 06.10.2015

Die Geraden schneiden einander nicht.

rundblick aktiv_icon

22:16 Uhr, 06.10.2015

.
"auf jeden fall habe ich die dann gleichgesetzt "

hm ? .. und ist dir klar, dass die beiden "t" nicht "gleich" sind ?

du solltest die eine Gerade mit dem Parameter

t

und die andere mit einem anders aussehendem Parameter

\to

\to s

aufschreiben..

\to

wau

\to

..und gleich kommt auch noch der vierte Stephan mit der gleichen Idee ..
.

also hier noch ein Tipp, wie du überlegen könntest:

\to

die beiden Richtungsvektoren und der Startpunkt von einer der beiden
Geraden bestimmen eine Ebene

\to

kannst du deren Gleichung aufschreiben?

und was würde es dir dann bringen, wenn du zB feststellst, dass der Startpunkt
der anderen Geraden NICHT in dieser Ebene ist ?..

.

Stephan4

22:18 Uhr, 06.10.2015

Du musst ein

t

umbenennen zu

s

(oder was auch immer), und dann zwei Zeilen gleich setzen.
Was dann raus kommt in die dritte Zeile einsetzen. Wenn das dann nicht passt, dann gibt es keinen Schnittpunkt.

Vektoren schreibt man so:

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

="((1),(2),(3))"
aber ohne Anführungszeichen.

:-)

emiliiie aktiv_icon

22:18 Uhr, 06.10.2015

@respon: toll, das hilft mir jetzt auch nicht weiter, kannst du mir deinen rechenweg aufschreiben?

@rundblick: ja, das habe ich alles beachtet

emiliiie aktiv_icon

22:21 Uhr, 06.10.2015

@stephan4

ja, das habe ich auch alles gemacht und ist mir bewusst, aber bei mir kommt eine wahre aussage nämlich

5 = 5

raus ..

oh, danke aber die vektoren so aufzuschreiben ist ja ganz schön kopliziert und aufwendig :-D)

rundblick aktiv_icon

22:29 Uhr, 06.10.2015

.
"@rundblick: ja, das habe ich alles beachtet "

@ emiliiie :

hast du meinen Tipp oben auch mitbekommen?

.

Stephan4

22:37 Uhr, 06.10.2015

Emiliiie, wenn für Dich schon das Vektoren Schreiben so kopliziert und aufwendig ist, wie soll unsereins dann den ganzen Lösungsweg aufschreiben?

Was hast Du denn für

s

und für

t

eingesetzt, als du

5 = 5

raus bekommen hast?

emiliiie aktiv_icon

22:45 Uhr, 06.10.2015

@rundblick:

ja, habe ich aber ich weiß nicht worauf du hinauswillst mit deinem tipp..

@stephan4:

das eine hat doch nichts mit dem anderen zu tun. du stellst es so dar,als wäre ich zu
faul um die aufgabe selbst zu lösen oder so. ich sitze aber meist stundenlang an einer aufgabe weil ich sie versuche zu verstehen und nach meinen rechenfehlern suche!
außerdem brauchst du dich dann nicht angesprochen fühlen, wenn du nicht bereit bist den lösungsweg aufzuschreiben. ich habe nicht dich aufgefordert sondern gefragt, ob es jemand machen könnte.

für

t

habe ich

\frac{17}{15}

und für

r \frac{4}{5}

raus

emiliiie aktiv_icon

22:48 Uhr, 06.10.2015

bzw. habe ich respon gefragt, weil er gesagt hat dass die geraden sich nicht schneiden würden.

aber falls irgendjemand anderes bereit wäre die aufgabe nochmal nachzurechnen und mir den rechenweg oder die werte für

t

und

r

zu sagen wäre ich sehr dankbar !

rundblick aktiv_icon

22:52 Uhr, 06.10.2015

.
"ja, habe ich

... ... < -

UND WARUM SCHREIBST DU DIE ERWÄHNTE EBENENGLEICHUG NICHT AUF?

aber ich weiß nicht worauf du hinauswillst mit deinem tipp.. "

\to

wollte, dass du dir Mühe gibst , genau zu lesen und dann ganz einfach MITzuDENKEN..
dann hast du die Antwort zu deiner Aufgabe sofort..

ALSO NOCHMAL:
"und was würde es dir dann bringen, wenn du zB feststellst, dass der Startpunkt
der anderen Geraden NICHT in dieser Ebene ist ?.."

ANTWORT

\to ...

?

.

emiliiie aktiv_icon

22:56 Uhr, 06.10.2015

@rundblick:

meinst du ich wäre zu blöd um deinen tipp zu verstehen?! Ich habe mir deinen tipp schon MÜHEVOLL durchgelesen weiß aber immer noch nicht was du mit startpunkt der gerade in der ebene meinst
daher kann ich deine geforderte ANTWORT leider nicht beantworten.

Stephan4

23:01 Uhr, 06.10.2015

mach doch mal die Probe.

So kannst Du den Fehler eingrenzen:
Setz Dein

t

und

r

an einer beliebigen Stelle in Deinem Rechenweg ein. Wenn das was falsches raus kommt, dann liegt Dein Fehler danach. Wenn was richtiges raus kommt, dann liegt Dein Fehler davor.

:-)

rundblick aktiv_icon

23:06 Uhr, 06.10.2015

g 1 :

Vektor x=(1|2|5)+t⋅(3|4|0)

g 2 :

Vektor x=(2|3|1)+t⋅(3|4|5)

"immer noch nicht was du mit startpunkt der gerade.."

\to

jede der beiden Geraden hat einen Startpunkt - oder nennet du es Aufpunkt oder wie?

für

g_{1}

ist das der Punkt

(1 | 2 | 5)

..und für

g_{2}

der Punkt

(2 | 3 | 1)

\to

Ein Punkt (zB

(1 | 2 | 5))

UND zwei verschiedene Richtungsvektoren
(hier

\to (3 | 4 | 0) .

. bzw

\to (3 | 4 | 5))

legen eine Ebene

E

fest

(\to

schreibe für

E

eine Koordinatengleichung auf)

so - und was bringt es dir dann für die Antwort auf deine Aufgabe ,
wenn du feststellst ob der Punkt

(2 | 3 | 1)

\to

E

liegt
oder eben

\to

NICHT in

E

ist.

?

.

emiliiie aktiv_icon

23:25 Uhr, 06.10.2015

@stephan4

ich habe das gemacht aber ich weiß immer noch nicht woran der fehler liegt. bspw wird die zweite gleichung im gleichungssystem nicht erfüllt, wenn man

t

und

r

einsetzt..

@rundblick

ich habe

r

und

t

in meine parametergleichung der ebene eingesetzt aber da kommt kein startpunkt (ich sag immer nur stützvektor oder punkt) einer der geraden raus. also ist irgendetwas falsch oder wie?

dann liegt der punkt nicht in der ebene oder wie? ich verstehe einfach nicht wo mein fehler liegt und auf was du hinaus willst..

rundblick aktiv_icon

23:30 Uhr, 06.10.2015

.
" ich verstehe einfach nicht auf was du hinaus willst.. "

ok - dann vergiss es .
.

Stephan4

23:34 Uhr, 06.10.2015

wenn du deine rechnung zeigst, können wir den fehler suchen

Stephan4

21:52 Uhr, 08.10.2015

Falls es noch wen interessiert:

Man kann mit Einsetzen einer beliebigen Zahl für den Parameter a jeden Punkt

X

der Geraden

g_{1}

erreichen.

g_{1} : \vec{X} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}) + a \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

g_{2} : \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + b \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})

Umgekehrt gibt es für jeden Punkt der Geraden einen passenden Parameter.

Findet man für einen bestimmten Punkt keinen passenden Parameter, liegt er nicht auf der Geraden.

g_{1} \cap g_{2} :

x : 1 + 3 a = 2 + 3 b \Rightarrow 3 a - 3 b = 1 | \cdot 4

y : 2 + 4 a = 3 + 4 b \Rightarrow 4 a - 4 b = 1 | \cdot (- 3)

0 = 1 \Rightarrow

Es gibt keine a und

b,

die zusammen passen. Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt.

Sollte man hier aber eine Lösung finden, die dann aber auch noch für die z-Zeile richtig ist, sind a und

b

die richtigen Parameter für den Schnittpunkt. Wenn nicht, gibt es keinen Schnittpunkt.

So einfach ist das.

:-)

emiliiie aktiv_icon

12:58 Uhr, 09.10.2015

@stephan5

danke für deinen lösungsweg!!

nur verstehe ich immer noch nicht, was ich falsch gemacht habe. ich weiß, dass wenn die dritte gleichung nicht erfüllt wird, die geraden keinen schnittpunkt haben.
doch bei mir wird für mein

r = \frac{4}{5}

und für

t = \frac{17}{15}

die gleichung erfüllt, weshalb die beiden gerade einen schnittpunkt haben müssten, den ich eben auch bestimmt habe.
in den lösungen steht aber immer noch, dass die geraden sich eben nicht schneiden.

bei deinem lösungsweg schneiden sich die geraden doch eigentlich auch, wenn du die dritte gleichung beachten würdest..

ich habe die erste dritte gleichung

5 = 1 + 5 r

nach

r

aufgelöst. für kommt

r = \frac{4}{5}

raus.
dann habe ich

r

in die erste gleichung

1 + 3 t = 2 + 3 r

eingesetzt und nach

t

aufgelöst. für

t

kommt

\frac{17}{15}

raus.

dann habe ich

r

in die dritte gleichung eingetzt und die gleichung wird erfüllt

(5 = 5)

.

mir fällt grad auf, dass ich auch beide koeffizienten in die zweite gleichung

2 + 4 t = 3 + 4 r

hätte einsetzen können. da kommt dann tatsächlich eine falsche aussage

(\frac{98}{15} = \frac{31}{5})

raus!!
oh, lag mein fehler also daran, dass ich nur

r

in die dritte gleichung eingesetzt habe wodurch eine wahre aussage rauskam und ich dann mit beiden parametern weitergerechnet habe für S??

lG

-Wolfgang-

13:21 Uhr, 09.10.2015

Hallo Emilie,

du musst natürlich die Probe immer in der Gleichung machen, die du zur Berechnung von

r

und

t

NICHT benutzt hast.
Bei den beiden anderen muss die Aussage sowieso wahr sein, wenn du dich nicht verrechnet hast.

W

Matlog aktiv_icon

14:21 Uhr, 09.10.2015

Könnte es vielleicht sein, dass emiliiies Problem darin liegt, dass sie den folgenden Satz zu wörtlich nimmt?
"ich weiß, dass wenn die dritte gleichung nicht erfüllt wird, die geraden keinen schnittpunkt haben."

Natürlich muss nicht nur die "dritte" Gleichung erfüllt sein, sondern alle drei!
Normalerweise geht man so vor, dass man sich nur zwei der drei Gleichungen nimmt (egal welche) und daraus dann die beiden Parameter

(r

und

s)

ausrechnet.
Wenn man sich nicht verrechnet hat, dann ergeben sich in den beiden benutzten Gleichungen nach Einsetzen dieser beiden errechneten Parameter automatisch wahre Aussagen.
Man muss also nur noch die beiden Parameter in die noch nicht benutzte ("dritte") Gleichung einsetzen. Ob diese aus der ursprünglich dritten Komponente der Vektoren stammt, ist unerheblich!
Diese Probe in der noch nicht verwendeten Gleichung entscheidet dann, ob die Geraden einen Schnittpunkt haben.
(alles so, wie Wolfgang es auch schon kurz erklärt hat)

Das ist aber natürlich nur eine Vermutung von mir, dass hier die Ursache liegt!

Stephan4

21:00 Uhr, 09.10.2015

Emiliiie,

besser gleich deine rechnung zeigen, dann hättest du schneller den fehler.

emiliiie aktiv_icon

00:21 Uhr, 10.10.2015

danke

!!

jetzt habe ich meinen fehler endlich gefunden.

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