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sin/cos mit der additionstheoreme

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion

qtynicole aktiv_icon

14:23 Uhr, 27.10.2012

Zeige mit Hilfe der Additionstheoreme

sin (x + y) = cos (x) sin (y) + sin (x) cos (y)

cos (x + y) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y)

dass

a)

cos(3x)=4cos³(x) - 3cos(x)

b)

sin(3x)=3sin(x)-4sin³(x)

gilt

bitte um ausführliche und möglichst einfach erklärung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

14:34 Uhr, 27.10.2012

3 \cdot x = 2 \cdot x + x

sin (3 \cdot x) = sin [(2 \cdot x) + x] = sin (2 \cdot x) \cdot cos (x) + cos (2 \cdot x) \cdot sin (x)

2 \cdot x = x + x

sin (2 \cdot x) = sin (x + x) = sin (x) \cdot cos (x) + cos (x) \cdot sin (x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

cos (2 \cdot x) = cos (x + x) = cos (x) \cdot cos (x) - sin (x) \cdot sin (x) = {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

Einsetzen und fertig

anonymous

14:35 Uhr, 27.10.2012

cos (3 + x)

analog

qtynicole aktiv_icon

14:39 Uhr, 27.10.2012

was du da gemacht hast kann ich nachvollziehen,

aber ich verstehe gar nicht den zusammenhang der aufgabe...und den zusammenhang der antwort zur aufgabenstellung
was sagt mir dieses

sin (x + y =) = ...

. und dieses hinter dem

sin (3 x) = . .

Capricorn-01 aktiv_icon

14:42 Uhr, 27.10.2012

a) cos (x + x) = {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

sin (x + x) = cos (x) sin (x) + sin (x) cos (x)

cos (x + 2 x) = cos (x) cos (2 x) - sin (x) sin (2 x) =

cos (x) \cdot ({cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)) - sin (x) \cdot (cos (x) sin (x) + sin (x) cos (x)) =

{cos}^{3} (x) - {sin}^{2} (x) \cdot cos (x) - {sin}^{2} (x) \cdot cos (x) - {sin}^{2} (x) \cdot cos (x) =

{cos}^{3} (x) - (1 - {cos}^{2} (x)) \cdot cos (x) - 2 \cdot {sin}^{2} (x) \cdot cos (x) =

{cos}^{3} (x) - cos (x) + {cos}^{3} (x) - 2 \cdot (1 - {cos}^{2} (x)) \cdot cos (x) =

{cos}^{3} (x) - cos (x) + {cos}^{3} (x) - 2 \cdot cos (x) + 2 \cdot {cos}^{3} (x) =

4 \cdot {cos}^{3} (x) - 3 \cdot cos (x)

b)

sin(3x)=3sin(x)-4sin³(x)

Ich habe zuerst für

y = 2 x

eingesetzt und die Theoreme angewandt, die man als Voraussetzung nehmen kann. Wo dann ein

{sin}^{2} (x)

aufgetreten ist, habe ich von Pythagoras Gebrauch gemacht

{sin}^{2} (x) = 1 - {cos}^{2} (x)

Bei

b)

geht es auf die gleiche Weise. Willst Du das selber versuchen?

LG

anonymous

14:48 Uhr, 27.10.2012

Additionstheoreme sind eher eine theoretische Angelegenheit, beim numerischen Berechnen braucht man sie nicht.
Die Idee der Additionstheoreme ist, alles auf die "einfachen" trigonometrischen Funktionen von einzelnen Winkel zurückzuführen.
Hättest du für

x

und

y

konkrete Werte, dann brauchst du die Formel natürlich nicht.

x

und

y

addieren, Taschenrechner, fertig.

anonymous

14:50 Uhr, 27.10.2012

Oder anders betrachtet:
Du sollst versuchen, trigonometrische Funktionen mit einem Vielfachen eines Winkels als Argument auf eine Formel zurückzuführen, die die trigonometrischen Funktionen des "Grundwinkels" enthält.

qtynicole aktiv_icon

14:50 Uhr, 27.10.2012

bis cos(x+2x)=cos(x)cos(2x)−sin(x)sin(2x)
versteh ich alles... weiter kann ichs leider nicht nachvollziehen...
vll könnte jmd den nächsten schritt erklären?

danke schon mal für die hilfreichen beiträge!

anonymous

14:56 Uhr, 27.10.2012

cos (x + 2 \cdot x) = cos (x) \cdot cos (2 \cdot x) - sin (x) \cdot sin (2 \cdot x)

cos (2 \cdot x) = cos (x + x) = cos (x) \cdot cos (x) - sin (x) \cdot sin (x) = {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)

sin (2 \cdot x) = sin (x + x) = sin (x) \cdot cos (x) + cos (x) \cdot sin (x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

Diese beiden Ausdrücke in die erste Zeile einsetzen.

cos (x + 2 \cdot x) = cos (x) \cdot cos (2 \cdot x) - sin (x) \cdot sin (2 \cdot x) = cos (x) \cdot [{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)] - sin (x) \cdot [2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)]

Ausrechnen, reduzieren, fertig.
( Eher ein Beispiel für die Rechenfertigkeit )

qtynicole aktiv_icon

15:02 Uhr, 27.10.2012

woher weißt man das

cos (x + x)

und

sin (x + x)

ist das iwie definiert?
dass es im ersten fall cos²(x) - sin²(x) ist?

qtynicole aktiv_icon

15:04 Uhr, 27.10.2012

ah wegen den angaben der theoreme stimmts

qtynicole aktiv_icon

16:29 Uhr, 27.10.2012

cos(x)⋅

[

cos2(x)−sin2(x)]−sin(x)⋅[2⋅sin(x)⋅cos(x)]

kann das jemand bitte weiterrechnen?
sinus mal cosinus = ?

Capricorn-01 aktiv_icon

17:53 Uhr, 27.10.2012

Du hast in beiden Summanden (nach dem Ausmultiplizieren)

{sin}^{2} (x)

. Das kannst Du durch

1 - {cos}^{2} (x)

ersetzen (das ist Pythagoras im Einheitskreis).

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