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unendlich oft differenzierbar

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Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion

Peter857 aktiv_icon

10:44 Uhr, 14.01.2018

Hallo, folgende Aufgabe möchte ich lösen und bin mir noch nicht so ganz sicher, ob das so richtig ist:

f : R \to R

f (x) := e^{- \frac{1}{x^{2}}}

wenn

x

ungleich

0, 0

wenn

x

gleich 0

Zz:

1 . : f

ist unendlich oft differenzierbar

2 . : f^{(n)} (0)

für alle

N

einschließlich der Null

1 . :

Voraussetzung:

f^{(n)} (x) = f (x) \cdot

(\frac{1}{x})

Per Indution:

(IA)

f^{(0)} (x) = e^{- \frac{1}{x^{2}}} = f (x)

f^{(1)} (x) = (\frac{1}{\frac{x^{3}}{2}}) \cdot e^{- \frac{1}{x^{2}}}

e^{- \frac{1}{x^{2}}}

ist differenzierbar,

(\frac{1}{\frac{x^{3}}{2}})

ist Polynom und damit auch differenzierbar.

(IS)
Voraussetzung:

f^{(n)} (x) = f (x) \cdot

(\frac{1}{x})

Zz:

f^{(n + 1)} (x) =

(f^(n))´

(x) = (\frac{1}{\frac{x^{3}}{2}}) \cdot e^{- \frac{1}{x^{2}}} \cdot

(\frac{1}{x}) + e^{- \frac{1}{x^{2}}}

*Pn´(1/x)=

e^{- \frac{1}{x^{2}}} ((\frac{1}{\frac{x^{3}}{2}}) \cdot

(\frac{1}{x}) +

Pn´

(\frac{1}{x}))

Pn+1

= ((\frac{1}{\frac{x^{3}}{2}}) \cdot

(\frac{1}{x}) +

Pn´

(\frac{1}{x}))

Pn+1 ist damit Polynom und es gilt:

f^{(n + 1)} (x) = f (x) \cdot

Pn+1

(\frac{1}{x})

Damit ist

f

unendlich differenzierbar oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

13:01 Uhr, 14.01.2018

"Damit ist f unendlich differenzierbar oder?"

Damit noch nicht, aber alle nötige Vorarbeit ist getan.
Jetzt muss man nur direkt prüfen, dass

\frac{f^{(n)} (x) - f^{(n)} (0)}{x} \to 0

.
Geht auch per Induktion, mit Hilfe Deiner Vorarbeit.

Peter857 aktiv_icon

13:25 Uhr, 14.01.2018

Also du meinst damit, dass ich den Limes für

x \to 0

vom Differentialquotenten bestimme und so erkenne ob die Funktion an der Stelle 0 differenzierbar ist?

DrBoogie aktiv_icon

13:32 Uhr, 14.01.2018

Ja.
Das folgt dann daraus, dass

lim_{x \to \infty} \frac{P (x)}{e^{x^{2}}} = 0

für jedes Polynom

P

Peter857 aktiv_icon

14:06 Uhr, 14.01.2018

SO?:

lim x \to 0 e^{- \frac{1}{x^{2}}}

*Pn(1/x))

/ (x - 0) =

lim x \to 0

e^(ln((e^(-1/x^2)*Pn(1/x))-ln(x))=

e^{ln (0) - ln (0)} = e^{0} = 1

DrBoogie aktiv_icon

14:30 Uhr, 14.01.2018

Nicht die Art, wie ich das aufschreiben würde, aber vermutlich auch OK.

Peter857 aktiv_icon

14:33 Uhr, 14.01.2018

Könntest du mir mal zeigen, wie du das machen würdest. Mein Beweis ist nicht so toll, da man für diesen wissen muss, dass

e^{- \frac{1}{x^{2}}}

schneller wächst als jedes Polynom.
Aber ein anderen Weg habe ich nicht gesehen.

Peter857 aktiv_icon

14:33 Uhr, 14.01.2018

Könntest du mir mal zeigen, wie du das machen würdest. Mein Beweis ist nicht so toll, da man für diesen wissen muss, dass

e^{- \frac{1}{x^{2}}}

schneller gegen 0 geht als jedes Polynom gegen unendlich.
Aber ein anderen Weg habe ich nicht gesehen.

DrBoogie aktiv_icon

16:51 Uhr, 14.01.2018

"da man für diesen wissen muss, dass e−1x2 schneller gegen 0 geht als jedes Polynom gegen unendlich."

Das muss man bei jedem Beweis dazu wissen.
Ich würde nicht grundsätzlich anders beweisen, nur anders aufschreiben.
Ich würde die Abschätzung

P (x) / e^{x^{2}} \leq C

nutzen, für ein passendes

P

. Und nicht mit komplizierten Grenzwerten jonglieren.

Peter857 aktiv_icon

17:09 Uhr, 14.01.2018

Okay danke:-)

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