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wurzel (1+i)

Universität / Fachhochschule

Tags: Komplexe Zahl, Wurzel

ronni19 aktiv_icon

09:38 Uhr, 04.03.2015

Hallo zusammen,
habe mal eine Frage im Bezug auf Komplexe zahlen. Hoffe mir kann weiter geholfen werden.

wie forme ich Wurzel(1+i) so um das ich sie auf einem Zahlenstrahl malen kann?

habe schon folgenden Lösungsweg erarbeitet aber komme nicht weiter.

wurzel(1+i)

{(1 + i)}^{0,5}

e^0,5ln(1+i)

kann mir da einer weiter helfen? :-)

Danke schonmal im voraus,
Ronni.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

09:49 Uhr, 04.03.2015

"
Hoffe mir kann weiter geholfen werden.

wie forme ich Wurzel(1+i) so um das ich sie auf einem Zahlenstrahl malen kann?"

\to

dir kann ganz einfach geholfen werden:
zur Darstellung von komplexen Zahlen hat man die Gauss-Ebene

informiere dich
und vergiss dein Malen auf "einem Zahlenstrahl"..

.

Edddi aktiv_icon

09:50 Uhr, 04.03.2015

. .

. auf dem Zahlenstrahl wird's aber nix! Du musst die Gaußche Ebenen nehmen.

Die komplexe Zahl

1 + i

läge also im x-y-Koordinatensystem bei

x = 1

und

y = 1

.

Verbindest du nun gedanklich den Punkt

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

mit dem Ursprung, so erhälst du den Ortsvektor der kompl. Zahl. Die Wurzel bekommst du nun hin, indem du den Winkel von 45° , den der Vektor ja hat, halbierst und die Länge (also den Betrag des Ortsvektors) wurzelst. Die Länge des Betrages ist ja

\sqrt{2},

somit hat der neue Vektor den Betrag

2^{\frac{1}{4}} = \sqrt{\sqrt{2}}

und den Winkel 22,5° bzw.

\frac{π}{8}

;-)

rundblick aktiv_icon

10:04 Uhr, 04.03.2015

"..und den Winkel 22,5° .."

.. was aber nur die "halbe" Wahrheit ist , Edddi
denn es winkelt ja passend auch noch woanders..

.

DrBoogie aktiv_icon

10:09 Uhr, 04.03.2015

Denn es gibt immer zwei quadratische Wurzeln (außer von

0

Edddi aktiv_icon

10:22 Uhr, 04.03.2015

. .

. da habt ihr recht. Ist

z

Lösung, so natürlich auch

- z

Also an den Fragesteller: Bitte das Ergebnis noch per Punktspiegelung am Ursprung vervielfältigen

(2

. Lösung).

;-)

ronni19 aktiv_icon

10:43 Uhr, 04.03.2015

hä...
also Zahlenstrahl und Gauss-Ebene habe ich vertauscht..Sorry.

Wie ich den wert, wenn er in der Katesischen form gegeben ist einzeichne weiß ich auch
aber wie bekomme ich wurzel(1+i) aus der Wurzel damit ich (ohne Taschenrechner) den wert einzeichnen kann?

mein ansatz von oben müsste laut Prof. richtig sein, leider weiß ich nicht wie ich dann weiter vorgehe.

e^{ln (...)}

müsste ja wieder die selbe Zahl ergeben, was mich stört ist das

0,5

vor dem

ln . .

: (

ronni19 aktiv_icon

10:43 Uhr, 04.03.2015

e^{ln (...)}

müsste ja wieder die selbe Zahl ergeben, was mich stört ist das

0,5

vor dem

ln . .

: (

rundblick aktiv_icon

11:34 Uhr, 04.03.2015

.
"

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. hä...

also Zahlenstrahl und Gauss-Ebene habe ich vertauscht..

... . < \to

hä ??

mein ansatz von oben
müsste laut Prof. richtig sein,

... .

. < \to

hä ??
"

\to

was ist das für ein Prof. ?? ..

.. ein richtiger Ansatz geht zB so:

z^{2} = 1 + i

\to

z^{2} = \sqrt{2} \cdot e^{(\frac{π}{4} + 2 k π) \cdot i} ...

. für

k = 0,1, .

\Rightarrow z_{k} = \sqrt[4]{2} \cdot e^{(\frac{π}{8} + k π) \cdot i} ...

. für

k = 0,1,

also

z_{0} = \sqrt[4]{2} \cdot [c o s

(22,5°

) + i \cdot s i n

(22.5°)

]

z_{1} = \sqrt[4]{2} \cdot [c o s

(202,5°

) + i \cdot s i n

(202.5°)

]

"
der Wurzel damit ich (ohne Taschenrechner) den wert einzeichnen kann?
"
jeder, der schon mal den Herrn Pythagoras kennengelernt hat, kann doch
problemlos zu einer gegebenen Strecke der Länge a die Strecke der Länge

\sqrt{a}

k o n s t r u i e r e n .

.
frag halt notfalls deinen famosen Prof. hä?
und ganz nebenbei, damit du deine "wie male ich" -Probleme verlierst :
komplexe Zahlen sind schlicht und einfach geordnete Paare reeller Zahlen...

.

ronni19 aktiv_icon

13:37 Uhr, 04.03.2015

Danke für die mühe und entschuldigung für miene Ausdrucksweise.

Ich denke aber das dieser rechenweg zu kompliziert ist das die aufgabe nur 2 von

120

Punkten gab.

ledum aktiv_icon

15:49 Uhr, 04.03.2015

Hallo
wenn du das nur zeichnerisch losen sollst dann einfach den pfeil zu

1 + i

bzw dem Punkt

(1,1)

einzeichnen, dass das 45° sind sollte klar sein. dann Winkel halbieren , auch noch klar und dass du die 45° oder die 405° halbieren kannst auch, damit hast du die Richtung der

2 L

nte Wurzel aus länge bzw Betrag , dass die länge des Pfeils dann die Wurzel der Länge des ersten ist kann man ungefähr machen oder eben

\sqrt{\sqrt{2}}

hinschreiben
Wenn du wieder ne Aufgabe hast schreibe den Orginaltext, dann kann man sehen, wie man schnell zu den 2 Punkten kommt.
wenn man kapiert hat, dass nte Wurzel ziehen heisst Winkel in

n

Teile teilen dann dauert die Aufgabe auch <2Min .
Gruß ledum

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