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xsinx gleichmäßig stetig

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Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

Siebenschlaefer aktiv_icon

21:17 Uhr, 20.07.2012

Hallo zusammen,

Ich möchte beweisen dass

f : R \to R, x \to

x*sinx(x) gleichmäßig stetig ist.
Hierfür gilt zu zeigen, dass für alle

ε > 0

ein

δ > 0

existiert sodass für alle

x, y \in R

mit

| x - y | < δ

gilt dass

| f (x) - f (y) | < ε

Beweis: sei

ε > 0,

| x sin x - y sin y | \leq | x sin x | + | y sin y | \leq | x | + | y |

aber hier hab ich ja schon zu weit abgeschätzt. Hätte vielleicht jemand einen Tipp? Vielen dank.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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21:32 Uhr, 20.07.2012

ja zu schnell abgeschätzt und über das Ziel hinaus geschossen!

verwende:

$| x \cdot \sin (x) - y \cdot \sin (y) | = | (x - y + y) \cdot \sin (x) - (y - x + x) \cdot \sin (y) |$

Reicht Dir dieser Tip schon? Ist ein sehr typisches Manöver-> merken!

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21:42 Uhr, 20.07.2012

Der nächste Schritt wäre noch gut.

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21:50 Uhr, 20.07.2012

$= | (x - y) \sin (x) + y \sin (x) - (y - x) \sin y - x \sin (y) |$

$= | (x - y) (\sin (x) + \sin (y)) - x \sin (y) + y \sin (x) |$

Siebenschlaefer aktiv_icon

22:09 Uhr, 20.07.2012

Ich weiß jetzt nicht so recht worauf das hinausläuft jedoch scheint es dass es nicht gleichmäßig stetig ist oder?

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22:13 Uhr, 20.07.2012

Wende auf den letzen Term eine Variation der Dreiecksungleichung an (s. Wikipedia)und die Produktregel für Beträge, die Sinusse kanst du dann jeweils mit 1 abschätzen und wenn ich nicht irre, erhälst du den Ausdruck

$\leq 3 | x - y |$

Rechne gleich nochmal nach!

Siebenschlaefer aktiv_icon

22:23 Uhr, 20.07.2012

Also ich erhalte dann

\leq | x - y | \cdot | sin (x) + sin (y) | +

|ysin(x) - xsin(y)|

\leq | x - y | \cdot

|sinx|

+ | x - y | \cdot

|siny|+ |y|*|sinx|+|x|*|siny|

\leq 2 \cdot | x - y | + | y | + | x |

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22:44 Uhr, 20.07.2012

Also deswegen bleibe ich bei meiner Vermutung, dass es nicht gleichmäßig stetig ist.

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23:07 Uhr, 20.07.2012

Wir gehen etwas zurück:

$| (x - y) (\sin x + \sin y) - x \sin y + y \sin x | = | (x - y) (\sin x + \sin y) + (y \sin (x) - x \sin y) | \leq | (x - y) (\sin x + \sin y) | + | y \sin (x) - x \sin y |$ #

$\leq | x - y | + | x | + | y |$

$\leq δ + | x | + | x + δ | = 2 δ + | x |$

Du hast recht stetig, aber nicht gleichmäßig! Zeigt übrigens auch der Graph:

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

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07:13 Uhr, 21.07.2012

Wie wählt man dann hier passend sein

ε, x

und

y

um es zu widerlegen? Weil es gilt dann ein paar

x, y

zu finden und ein

ε

sodassnfür alle

δ > 0, | x - y | < δ

und

| f (x) - f (y) | \geq ε

gilt.

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11:51 Uhr, 21.07.2012

Wir müssen die Abschätzung nochmal überarbeiten!

Fakt ist x*sin(x) ist stetig, aber nicht gleichmäßig:

Wir müssen also zeigen:

zu jedem $ξ > 0$ gibt es $δ > 0$ , so dass

$| x - y | < δ \Rightarrow | f (x) - f (y) | < ξ$

für alle $y \in R$ , das $δ$ wird dabei auch von y abhängen!

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14:44 Uhr, 21.07.2012

Wir steigen an dieser Stelle in die Abschätzung wieder ein

$| (x - y) (\sin x + \sin y) - x \sin y + y \sin x | = | (x - y) (\sin x + \sin y) - (x - y + y) \sin y + y \sin x | = | (x - y) \sin x + y (\sin x - \sin y) | \leq | x - y | | \sin x | + | y | | \sin x - \sin y |$

Jetzt verwende ich:

$\frac{| \sin x - \sin y |}{| x - y |} \leq 1 \Rightarrow | \sin x - \sin y | \leq | x - y |$

$\leq | x - y | \cdot (| \sin x | + | y |) \leq | x - y | \cdot (1 + | y |) < δ \cdot (1 + | y |)$

Setze jetzt

$δ = \frac{ξ}{1 + | y |}$

Dann passt alles!

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14:52 Uhr, 21.07.2012

Sei ein $ξ > 0$ vorgegeben, dann folgt aus

$| x - y | < δ$

mit den Abschätzungen wie eben:

$| f (x - f (y) | \leq | x - y | \cdot (1 - | y |) < δ \cdot (1 - | y |) = ξ$

Damit ist x*sinx stetig, aber nicht gleichmäßig, da $δ$ auch von y abhängt!

Siebenschlaefer aktiv_icon

21:20 Uhr, 21.07.2012

Aber gilt es nicht, wenn man die Behauptung widerlegen will, zu zeigen dass es ein konkretes Gegenbeispiel existiert?

hagman aktiv_icon

22:16 Uhr, 21.07.2012

Lemma: Für

0 < x < \frac{π}{3}

ist

sin (x) > \frac{1}{2} x

.
Beweis: Nach Mittelwertsatz ist

sin (x) - sin (0) = x \cdot cos (ξ)

mit

0 < ξ < \frac{π}{3}

. Aber dann ist

cos (ξ) > cos (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

.

Sei

ε > 0, δ > 0

gegeben. OBdA

δ < 2 \frac{π}{3}

.
Zu zeigen ist, dass es

x_{0}, x_{1}

gibt mit

| x_{0} - x_{1} | < δ,

aber

| f (x_{1}) - f (x_{0}) | \geq ε

.
Hierzu wählen wir ein noch zu bestimmendes

n \in ℕ

und setzen

x_{0} = 2 n π, x_{1} = x_{0} + \frac{δ}{2}

.
Es folgt

f (x_{0}) = 0

und mit dem Lemma

f (x_{1}) = x_{1} \cdot sin (x_{1}) = x_{1} \cdot sin (\frac{δ}{2}) > x_{1} \cdot \frac{δ}{4} = \frac{π δ}{2} \cdot n

.
Es genügt also

n \geq \frac{2 ε}{π δ}

zu wählen

Siebenschlaefer aktiv_icon

09:00 Uhr, 22.07.2012

Ah Super vielen vielen dank :-)

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