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zeige: alle endlichen mengen diskret

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Tags: Defintion, Stetigkeit, Teilmenge

Schnubbie aktiv_icon

17:29 Uhr, 18.05.2008

halli, hallo...

habe mal wieder eine Aufgabe an der ich verzweifle...

Haben bisher noch keine diskrete Mengen besprochen und ich weiß nicht wie ich mit der Definition umgehen könnte...

Def.:

Eine Teilmenge $X \subset R$ heißt diskret, falls

$\forall x \in X, \exists r > 0 / \exists y \in X : | y - x | < r \Rightarrow y = x$

Die erste Frage wäre:

wie beweise ich dass jede endliche Menge $X \subset R$ diskret ist

Die zweite wäre:

Wie kann ich den Übergang von dieser Definition zu der Definition der Stetigkeit schaffen? Wie ist die Beziehung dieser zwei Definitionen?

Frage wäre zu der Aufgabe:

Beweise: Für diskrete $X \subset R$ ist jede Funktion f: $X \to R$ stetig, d.h.

$X d i s k r e t \Rightarrow C (X, R) = R^{X}$

Wäre echt super, wenn mir jemand dabei ein wenig bei dem Ansatz helfen könnte...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

butterfly3 aktiv_icon

20:31 Uhr, 18.05.2008

Hallo Schnubbie,

zu deiner ersten Frage: Ist

X = {x_{1}, ..., x_{n}},

dann betrachte doch einmal

R := min | x_{i} - x_{j} |

für

i

ungleich

j

. Das ist dann wirklich ein Minimum und kein Infimum, weil

X

ja endlich ist. Und es ist

R > 0

. Für

r

kannst du dann einfach

r = \frac{R}{2}

wählen.

Es gilt dann: für

i

ungleich

j

folgt

| x_{i} - x_{j} | > r;

der Umkehrschluss ist: aus

| x_{i} - x_{j} | < r

folgt

i = j

.

Was die Funktionen angeht: Tja, da ist das Epsilon-Delta-Kriterium am besten. Und zwar nimmst du dann für beliebiges

ε > 0

für

δ

das

r

von oben. Ist dann

| x - y | < δ,

muss

x = y

gelten und damit ist natürlich

| f (x) - f (y) | < ε

hagman aktiv_icon

20:34 Uhr, 18.05.2008

Die endlich vielen Zahlen

| x - y |

mit

x, y \in X

und

x \neq y

sind alle positiv. Als endliche Menge reeller Zahlen hat die Menge dieser Abstände ein Minimum

m

. In diesem Fall ist natürlich auch

m > 0

.
Wir können in

\forall x \in X : \exists r > 0 : \forall y \in X : . .

.
für

r

(unabhängig von

x

) stets einfach

r = m

wählen.

Sei

X

diskret. Per Definition hat jeder Punkt

x \in X

eine epsilon-Umgebung, die nur

x

enthält,

d . h

. jede einpunktige Menge ist offen in X. Dann ist auch jede beliebige Teilmenge von

X

als Vereinigung offener (einpunktiger) Mengen offen.
Für Stetigkeit von

f : X \to A

ist zu zeigen, dass das Urbild

f^{- 1} (U)

jeder offenen Teilmenge

U \subset A

offen in

X

ist. Aber dazu genügt ja schon, dass

f^{- 1} (U)

überhaupt Teilmenge von

X

ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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