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zeigen dass eine funktion n-linear ist

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Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung, n-lineare funktionen

Baum2000 aktiv_icon

11:02 Uhr, 28.02.2023

Hallo zusammen

In Linearer Algebra wird momentan das Thema n-lineare Funktionen behandelt, wo ich allgemein noch nicht wirklich durchblicke. Wir sollen nun bestimmen ob die folgenden Funktionen n-linear sind oder nicht. Dabei weiss ich nicht was das allgemeine vorgehen ist um dies zu zeigen. Kann mir da jemand helfen?
vielen Dank im Voraus!

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Punov aktiv_icon

16:20 Uhr, 28.02.2023

Hallo, Baum2000!

Was genau verstehst du unter einer n-linearen Funktion?
Ich vermute, das ist nur ein anderes Wort für multilinear, also linear in allen Komponenten.

Falls dem so ist, kann man für die Teilaufgaben (a) und (b) leicht Gegenbeispiele finden. Die Teilaufgabe (c) kann man auf dem Bild nicht erkennen, vielleicht möchtest du das noch ändern.

Eine kurze Rückmeldung wäre nett, dann kann man konkreter werden.

Viele Grüße

Baum2000 aktiv_icon

17:09 Uhr, 28.02.2023

Ja genau das meine ich :-). Wie findet man denn so ein Beispiel?

Punov aktiv_icon

17:26 Uhr, 28.02.2023

Hallo!

Ich zeige mal für (a), was ich meine:

Die Funktion

D : ℝ^{3 \times 3} \to ℝ, A = (\begin{array}{rcl} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}) \mapsto A_{11} + A_{22} + A_{33}

kann man auch als Funktion der Reihen von

A

auffassen, die ich mal

a_{1}, a_{2}, a_{3}

nenne, also

D (A) = D (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = A_{11} + A_{22} + A_{33}

.

Jetzt betrachte zum Beispiel die Einheitsmatrix

E_{3} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

,

deren Reihen ich

e_{1}, e_{2}, e_{3}

nenne.

Sei

C \in ℝ \ {1}

. Dann gilt

D ((\begin{array}{rcl} C & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})) = D (C e_{1}, e_{2}, e_{3}) = C + 2 \neq C D (e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 3 C

.

Das heißt,

F

ist nicht linear in der ersten Komponente, und damit insbesondere nicht multilinear.

Für (b) kannst du im Grunde das gleiche Gegenbeispiel nehmen, nur dass du

C

anders wählen musst.

Viele Grüße

PS. Vielleicht noch zur Erklärung, wie man für diese Aufgabe auf Gegenbeispiele kommt:

Wäre

D : ℝ^{3 \times 3} \to ℝ

multilinear, könnte man es als

D (A) = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} A_{1 i} A_{2 j} A_{3 k} D (e_{i}, e_{j}, e_{k})

schreiben. Das heißt,

D

ist durch das, was es mit sämtlichen Kombinationen der Reihen der Einheitsmatrix tut, schon eindeutig bestimmt. Daher liegt es nahe, so wie oben getan bei der Untersuchung auf Multilinearität erstmal Varianten der Einheitsmatrix als potentielle Gegenbeispiele zu betrachten.

Baum2000 aktiv_icon

20:54 Uhr, 28.02.2023

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.

Mal schauen ob ich das jetzt anweden kann:
die b) ist auch nicht 3-linear und c)

A_{11} A_{22} A_{33}

ist 3-linear

stimmt das?

Punov aktiv_icon

12:20 Uhr, 01.03.2023

Hallo,

ja, das ist korrekt.

Für (c) hast du für obige Notation nämlich

D (e_{i}, e_{j}, e_{k}) = 1

genau dann, wenn

i = 1, j = 2, k = 3

und

D (e_{i}, e_{j}, e_{k}) = 0

sonst. Das heißt, die Funktion lässt sich schreiben als

D (A) = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} A_{1 i} A_{2 j} A_{3 k} D (e_{i}, e_{j}, e_{k}) = A_{11} A_{22} A_{33} D (e_{1}, e_{2}, e_{3})

.

Man zeigt für

c \in ℝ

leicht, daß

D (c e_{1}, e_{2}, e_{3}) = c D (e_{1}, e_{2}, e_{3})

und genauso für die anderen beiden Komponenten.

Viele Grüße

Baum2000 aktiv_icon

19:16 Uhr, 01.03.2023

Vielen Dank!!!

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