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Abbildungsmatrix einer Abbildung in Matrix-Vektorr

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Abbildungsmatrix, Angewandte Lineare Algebra, basis, Koordinatentransformation, Linear Abbildung, Rang einer Matrix, Vektorraum

byjenseirik aktiv_icon

09:14 Uhr, 27.06.2017

Hallo zusammen.

Ich habe heute eine Frage in der linearen Algebra. Und zwar habe ich folgendes gegeben:

Die Menge

ℝ^{n \times n}

der reellen

n \times n

Matrizen bildet einen Vektorraum über

ℝ

. (bzgl Matrixaddition und skalarer Multiplikation).

Wir betrachten nur den Spezialfall

n = 2

. Ich habe nun eine Basis gegeben mit 4 verschiedenen

2 \times 2

Matrizen

A_{1} := (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), A_{2} := (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), A_{3} := (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), A_{4} := (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

zusätzlich habe ich eine Matrix

A := (\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 2 & 0 \end{matrix})

gegeben.

Ich betrachte nun folgende Abbildungsvorschrift:

F (B) = 3 \cdot A \cdot B - B \cdot A

Ich soll nun die Abbildungsmatrix zu

F

finden.

Dazu habe ich meine Basismatrizen jeweils in die Abbildung eingesetzt, und die entstandene Matrix als Linearkombination meiner Basismatrizen dargestellt:

F (A_{1}) = 2 A_{1} - 6 A_{2}

F (A_{2}) = - A_{2}

F (A_{3}) = 2 A_{1} + 3 A_{3} - 6 A_{4}

F (A_{4}) = 2 A_{2}

Nun habe ich diese Linearkombinationen als Spalten meiner Matrix

M

betrachtet:

M := (\begin{matrix} 2 & 0 & 2 & 0 \\ - 6 & - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \end{matrix})

Laut Musterlösung ist dies richtig, nur verstehe ich leider nicht, wieso diese Matrix nun eine

4 \times 4

Matrix ist? Wie kann ich diese Matrix denn nun für diese Abbildung benutzen, muss ich eine

2 \times 2

Matrix zuerst in einen Spaltenvektor der Dimension 4 umwandeln, um sie gebrauchen zu können?

Danke für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

pwmeyer aktiv_icon

09:19 Uhr, 27.06.2017

Hallo,

"muss ich eine 2×2 Matrix zuerst in einen Spaltenvektor der Dimension 4 umwandeln"

Ja, und zwar muss dieser 4er-Vektor die Entwicklungskoeffizienten der Matrix

B

bezüglich der Basis enthalten.

Multiplikation dieses 4er-Vektor mit der Matrix

M

gibt dann die Entwicklungskoeffizienten von

f (B)

.

Gruß pwm

byjenseirik aktiv_icon

09:29 Uhr, 27.06.2017

Also wenn ich das richtig verstehe:

Angenommen ich will die Matrix

B := (\begin{matrix} 4 & 5 \\ - 6 & 3 \end{matrix})

abbilden.

Dann gilt

B = 4 A_{1} - 6 A_{2} + 5 A_{3} + 3 A_{4}

Und demnach als Spaltenvektor

b := (\begin{matrix} 4 \\ - 6 \\ 5 \\ 3 \end{matrix})

Dann

c := M \cdot b = (\begin{matrix} 18 \\ - 12 \\ 15 \\ 30 \end{matrix})

Und demnach

C := F (B) = (\begin{matrix} 18 & 15 \\ - 12 & 30 \end{matrix})

Stimmt dies so?

pwmeyer aktiv_icon

09:52 Uhr, 27.06.2017

Hallo,

"Stimmt dies so?"

Warum fragst Du? Du kannst doch selbst

F (B)

ausrechnen und vergleichen.

Gruß pwm

byjenseirik aktiv_icon

10:15 Uhr, 27.06.2017

Es geht mir nicht um die numerische Lösung dieses Beispiels, sondern eher um das Konzeptionelle dahinter. Ich bin von "Proof by Example" nicht wirklich überzeugt, deshalb schliesse ich aus einem korrekten Beispiel nicht sofort die Korrektheit des Verfahrens.

pwmeyer aktiv_icon

10:40 Uhr, 27.06.2017

Warum hast Du dann ein Beispiel vorgeschlagen?

Ich habe oben beschrieben, was die "darstellende Marix" leistet. Mit einem Beispiel kann man nichts mehr tun, als dies in einem Einzelfall zu bestätigen.

Alles andere erledigt der Beweis, den Du dann vielleicht lieber nachgeschlagen hättest.

Gruß pwm

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