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Abgeschlossenheit der ganzen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Tags: abgeschlossen, Abgeschlossenheit, Addition, additiv, Beweis, Ganze Zahlen, Induktion, Induktionshypothese, multipliativ, Multiplikation, Vollständig Induktion

dealwithit aktiv_icon

12:47 Uhr, 28.10.2018

Hallo :-)

Ich möchte die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition sowie der Multiplikation der ganzen Zahlen beweisen. Diese haben wir definiert als

ℤ = ℕ ⋃ {x \in ℝ ∣ - x \in ℕ} .

Zuerst wollte ich die Abgeschlossenheit bezüglich der Addition durch vollständige Induktion über n beweisen. Meine Idee:

Induktionsanfang:

n = 0 : n + m = 0 + m = m \in ℤ

nach Voraussetzung.

Induktionshypothese: Die Aussage gelte für ein beliebiges festes

n

.

Induktionsschritt:

(n + 1) + m = (n + m) + 1

.
(n+m) ist nach der Induktionshypothese in

ℤ

.
1 ist in

ℕ

und somit nach Definition in

ℤ .

Darf ich nun noch mal die Induktionshypothese benutzen, um zu sagen dass die komplette Summe in

ℤ

ist, da sowohl

(n + m)

, als auch

1

ganze Zahlen sind?

Schon mal vielen Dank für hilfreiche Antworten und einen schönen Sonntag!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ganze Zahlen addieren/subtrahieren
Multiplikation und Division von Brüchen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ermanus aktiv_icon

12:55 Uhr, 28.10.2018

Hallo,
mit deinem Ansatz kannst du höchstens nachweisen, dass

ℕ + ℤ \subseteq ℤ

ist.
Was machst du denn mit den negativen

n

?
Vielleicht ist vollständige Induktion nicht das Gelbe von Ei?
Gruß ermanus

dealwithit aktiv_icon

12:59 Uhr, 28.10.2018

Ich dachte das wäre schon dadurch abgedeckt, dass ich

n

und

m

als beliebige Zahlen in

Z

annehme, die ja also auch negativ sein können.
Hast du einen Ansatz für mich, wie ich den Beweis sonst angehen könnte?

ermanus aktiv_icon

13:05 Uhr, 28.10.2018

Deine Idee kann nicht funktionieren, weil du doch von

n

nicht
auf

n - 1

und "zugleich" auf

n + 1

übergehen kannst. Du müsstest ja
Induktion in beiden Richtungen betreiben.
Ich würde eine Fallunterscheidung machen, also so beginnen:
Seien

x, y \in ℤ

. dann gibt es vier Fälle:
1.

x, y \in ℕ

,
2.

x \in ℕ, - y \in ℕ

,
3. wie 2., nur

x, y

vertauscht,
4.

- x, - y \in ℕ

.
Vielleicht klappt es damit?

dealwithit aktiv_icon

13:24 Uhr, 28.10.2018

Das klingt gut! Vielen Dank für deinen Ansatz.
Wir haben schon bewiesen, dass die natürlichen Zahlen bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen sind. Dann könnte ich das doch so in den verschiedenen Fällen verwenden und irgendwie mit der Definition der ganzen Zahlen darauf zurückführen, dass auch ein

- n \in Z

ist, richtig?
Ich werde gleich mal versuchen einen vernünftigen Beweis aufzuschreiben.

Die Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation wollte ich dann unter Verwendung der Abgeschlossenheit der Addition beweisen, indem ich

n = 1 + ... . + 1 (n

mal) und

m = 1 + ... . + 1 (m

mal) notiere, bzw. bei negativen Zahlen

(- 1) + (- 1) + . .

.

Dann könnte ich

n \cdot m

notieren als

(1 + ... . + 1) + ... . . + (1 + ... . . + 1)

mit sozusagen jeweils

n

Einsen in den Klammern und

m

Klammern.

Und da 1 bzw.

- 1

eine ganze Zahl ist und wir Abgeschlossenheit bzgl. Addition schon bewiesen haben, ist das Produkt auch eine ganze Zahl.
Geht das so?

ermanus aktiv_icon

13:37 Uhr, 28.10.2018

Die Abgeschlossenheit der Multiplikation kannst du doch in den vier
Fällen auch auf die Abgeschlossenheit der Multiplikation in

ℕ

zurückführen, da du z.B. die Vorzeichenregeln, etwa "Minus mal Minus = Plus"
alle verwenden darfst, da die ja sogar in der Obermenge

ℝ

gültig sind. Also mach dir keinen unnötigen Stress mit

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . .

;-)
Gruß ermanus

dealwithit aktiv_icon

14:36 Uhr, 28.10.2018

Ich habe jetzt versucht alle Fälle ordentlich aufzuschreiben. Bei der Multiplikation sind mir alle Fälle klar. Bei der Addition hab ich nur bei den Fällen 2 und

3,

also mit jeweils unterschiedlichen Vorzeichen Schwierigkeiten.
Wenn

n \geq 0

und

m < 0,

dann sind ja

n, - m \in N,

also auch

n + (- m) = n - m \in N

.
Wie komm ich jetzt von der Aussage auf

n + m

ist in

Z

?
wenn ich von der Definition der ganzen Zahlen ausgehe, komme ich doch nur auf

- n + m \in Z

.

Vielen Dank für die Hilfe!

ermanus aktiv_icon

14:40 Uhr, 28.10.2018

Ja, das sind die beiden "fiesen" Fälle.
Bin gerade anderweitig beschäftigt, schreibe dir aber in ca. 20 Minuten etwas dazu ...

dealwithit aktiv_icon

15:04 Uhr, 29.10.2018

Ich würde mich noch sehr über einen Tipp freuen, wenn du Zeit hast :-)

ermanus aktiv_icon

16:23 Uhr, 29.10.2018

Tut mir Leid, dass ich mich erst jetzt melden kann, aber ich "leide" augenblicklich
etwas unter Zeitnot ...
Also zum Fall

n \in ℕ, - m \in ℕ

:
hier müssen wir 2 Unterfälle betrachten:
a)

n \geq - m

und b)

n < - m

.
Unterfall a) Es ist

n + m = n - (- m) \in ℕ

ℕ

ist nicht nur Addition abgeschlossen, sondern
enthält auch alle Differenzen natürlicher Zahlen

a - b

, für die

a \geq b

ist.
b) In diesem Falle ist

n + m < 0

,
d.h.

- n - m > 0

, also

- n - m \in ℕ

,
und damit ist

n + m = - (- n - m) \in ℤ

.
Gruß ermanus

dealwithit aktiv_icon

19:37 Uhr, 29.10.2018

Vielen, vielen Dank für die Zeit und Mühe! Hat mir unglaublich weitergeholfen.

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