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Abschnittsweise definierte Funktion mehrerer Vari.

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Abschnittsweise definierte Funktion, mehrere Variable, Stetigkeit

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21:54 Uhr, 27.05.2017

Hallo ihr Lieben,

ich hab mich jetzt eine Weile mit folgender Aufgabe beschäftigt. Meine Idee ist dazu, die Funktion in 3 Abschnitte zu unterteilen und die beiden mit dem

r

. und

l

. Limes auf Konvergenz untersuchen. Die frage ist nur, was für eine Variable nehme ich am besten und wie mache ich das bspw. von der ersten Zeilen und der zweiten Zeile?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

22:13 Uhr, 27.05.2017

Hallo
trage dir die Grenzen der Gebiete in der

x - y

Ebene auf. innerhalb und ausserhalb der Grenzen ist

f

stetig, also musst du

f

nur auf den Grenzen

y = x^{2}

und

y = - x^{2}

und

(0,0)

ansehen, bzw auf Stetigkeit zu untersuchen.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

22:14 Uhr, 27.05.2017

sorry. doppelt

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22:16 Uhr, 27.05.2017

Hi, danke für die Antwort.
Also die

x - y

Ebende hatten wir noch nicht, aber woran kann ich es denn auch noch erkennen?

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22:25 Uhr, 27.05.2017

Die frage ist, welche variable nehme ich? Also Stetigkeit haben wir so gemacht, ob der rechtsseitige und linksseitig Grenzwert übereinstimmt.
Aber Funktionen mit 2 variable hatten wir noch nicht mit dieser Methode untersucht.

tobit aktiv_icon

22:42 Uhr, 27.05.2017

Hallo,

wie lautet denn eigentlich die Aufgabenstellung? ;-)
Ich sehe nur eine Funktionsvorschrift.

Viele Grüße
Tobias

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22:45 Uhr, 27.05.2017

Sie lautet folgendermaßen :-) :

tobit aktiv_icon

23:05 Uhr, 27.05.2017

Danke! :-)

Du kennst ja sicherlich aus der Schule Koordinatensysteme mit x-Achse und y-Achse.
Jedem Punkt dieses Koordinatensystems ordnet

f

eine reelle Zahl zu, und zwar je nach "Bereich" des Koordinatensystems nach einer anderen Vorschrift.
Du solltest dir in einer Skizze innerhalb eines solchen Koordinatensystems veranschaulichen, welche Bereiche dies sind.

Verwende die Definition der Stetigkeit von Abbildungen

f : ℝ^{2} \to ℝ

in Punkten

(x, y) \in ℝ^{2}

.
Wie lautet sie bei euch?

Dazu sind hier sinnvollerweise folgende Fälle zu unterscheiden:
i)

y > x^{2}

ii)

y < - x^{2}

iii)

∣ y ∣ < x^{2}

iv)

y = x^{2}

und

x \neq 0

y = - x^{2}

und

x \neq 0

vi)

(x, y) = (0, 0)

.

i) bis iii) sind deutlich einfacher als iv) bis vi).

Bevor ich dazu etwas schreibe, warte ich noch eure Stetigkeits-Definition ab.

mathrac aktiv_icon

23:14 Uhr, 27.05.2017

Die Definition könnte am ehesten dazu zutreffen, aber mehr haben wir noch nicht über Stätigkeit

n

solchen Räumen gemacht:

tobit aktiv_icon

23:24 Uhr, 27.05.2017

In dieser Bemerkung geht es um Stetigkeit LINEARER Abbildungen, in dieser Aufgabe aber nicht.

Anscheinend habt ihr vor der Bemerkung irgendwo definiert, wann eine Abbildung zwischen normierten Räumen stetig in gewissen Punkten des Definitionsbereiches heißt.
Vielleicht habt ihr auch eine entsprechende Definition für beliebige metrische Räume oder gar für alle topologischen Räume.

Typisch (im Falle metrischer Räume) sind ein Folgenkriterium oder ein

ɛ - δ

-Kriterium.

Habt ihr ein öffentlich zugängliches Skript?
Dann könnte ich mal nach der passenden Definition suchen.

Solange du gar nicht weißt, wann

f

stetig in gewissen Punkten

(x, y)

heißt, kannst du natürlich nicht sinnvoll die Aufgabe bearbeiten.

mathrac aktiv_icon

23:34 Uhr, 27.05.2017

Okay, ich schau gerade nochmal in mein Skript, nein leider haben wir nichts online, leider nur in Handschrift. ɛ−δ-Kriterium haben wir so in Verbindung gebracht:

mathrac aktiv_icon

23:36 Uhr, 27.05.2017

Aber mehr im Bezug zu Stetigkeit und metrischen Räumen haben wir nicht gemacht, also ich bin nochmals alles Sätze durch gegangen.

tobit aktiv_icon

23:57 Uhr, 27.05.2017

Das sieht gut aus.:-)

Im größeren der beiden Bilder ist erklärt, wann eine Abbildung

f : X \to Y

zwischen metrischen Räumen

(X, d_{X})

und

(Y, d_{Y})

in einem Punkt

x_{0} \in X

stetig heißt.

Im Fall unserer Aufgabe ist also

X = ℝ^{2}

und

Y = ℝ

(mit den "gewöhnlichen" Metriken auf diesen Mengen).

Ich schlage vor, wir benutzen die (auf dem Bild zuerst genannte) Folgen-Charakterisierung der Stetigkeit:

f

heißt stetig in

(x, y) \in ℝ^{2}

, wenn für alle Folgen

((x_{n}, y_{n}))_{n \in ℕ} \subseteq ℝ^{2}

mit

(x_{n}, y_{n}) \to (x, y)

für

n \to \infty

gilt:

f (x_{n}, y_{n})

für

n \to \infty

.

Ich nehme mal an, es ist bekannt, dass

(x_{n}, y_{n}) \to (x, y)

ℝ^{2}

gleichbedeutend mit

x_{n} \to x

und

y_{n} \to y

ℝ

ist?

Sei nun also

(x, y) \in ℝ^{2}

.

Wenn wir

f

als stetig in

(x, y)

nachweisen möchten, müssen wir also eine beliebig vorgegebene Folge

((x_{n}, y_{n}))_{n \in ℕ} \subseteq ℝ^{2}

mit

(x_{n}, y_{n}) \to (x, y)

für

n \to \infty

betrachten und

f (x_{n}, y_{n}) \to f (x, y)

für

n \to \infty

nachweisen.

Wenn wir

f

als unstetig in

(x, y)

nachweisen möchten, müssen wir EINE Folge

((x_{n}, y_{n}))_{n \in ℕ} \subseteq ℝ^{2}

mit

(x_{n}, y_{n}) \to (x, y)

für

n \to \infty

finden, für die NICHT

f (x_{n}, y_{n}) \to f (x, y)

für

n \to \infty

gilt.

Soweit alles klar?

Das gilt es jetzt jeweils für die von mir genannten Fälle i) bis vi) durchzuexerzieren.
Ich schreibe gleich wahrscheinlich eine separate Antwort, in der ich die Fälle i) und iv) vorführe.
Die restlichen Fälle kannst du dann alleine versuchen.

mathrac aktiv_icon

00:05 Uhr, 28.05.2017

Achso, jetzt gibt das ganze auch einen Sinn, also ist im Grunde die Stetigkeit von

f (x, y)

eine Stetigkeit in der Abbildung zwischen zwei metrischen Räume, also einmal

R^{2}

und R?

"Ich nehme mal an, es ist bekannt, dass (xn,yn)→(x,y) in ℝ2 gleichbedeutend mit xn→x und yn→y in ℝ ist?"

Ja, das ist bekannt und als Stetigkeit des Abstandes definiert.

tobit aktiv_icon

00:10 Uhr, 28.05.2017

" Achso, jetzt gibt das ganze auch einen Sinn, also ist im Grunde die Stetigkeit von f(x,y) eine Stetigkeit in der Abbildung zwischen zwei metrischen Räume, also einmal R2 und R?"

Genau.

" "Ich nehme mal an, es ist bekannt, dass (xn,yn)→(x,y) in ℝ2 gleichbedeutend mit xn→x und yn→y in ℝ ist?"

Ja, das ist bekannt und als Stetigkeit des Abstandes definiert. "

Unter "Stetigkeit des Abstandes" hätte ich jetzt etwas anderes verstanden, aber egal.
Hauptsache, ihr kennt diesen Zusammenhang.

Ich schreibe gerade an Fall i).

tobit aktiv_icon

00:33 Uhr, 28.05.2017

Zu i), also der Untersuchung der Stetigkeit in einem beliebig vorgegebenen Punkt

(x, y) \in ℝ^{2}

mit

y > x^{2}

:

Ich behaupte, dass

f

(x, y)

stetig ist.

Zum Nachweis sei

((x_{n}, y_{n}))_{n \in ℕ} \subseteq ℝ^{2}

mit

(x_{n}, y_{n}) \to (x, y)

(also

x_{n} \to x

und

y_{n} \to y

) für

n \to \infty

beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist

f (x_{n}, y_{n}) \to f (x, y)

(d.h.

f (x_{n}, y_{n}) \to 2 x

) für

n \to \infty

.

Es gilt natürlich wegen

x_{n} \to x

auch

2 x_{n} \to 2 x

für

n \to \infty

.
Wenn wir also zeigen können, dass für genügend große

n

gilt

y_{n} > x_{n}^{2}

, folgt

f (x_{n}, y_{n}) = 2 x_{n}

für genügend große

n

und damit tatsächlich auch

f (x_{n}, y_{n}) \to 2 x

für

n \to \infty

.

Sei

ɛ := y - x^{2} > 0

.
Wegen

x_{n}^{2} \to x^{2}

ist

∣ x_{n}^{2} - x^{2} ∣ < \frac{ɛ}{2}

für genügend große

n

und wegen

y_{n} \to y

ist

∣ y_{n} - y ∣ < \frac{ɛ}{2}

für genügend große

n

.

Für genügend große

n

erhalten wir somit wie gewünscht

x_{n}^{2} = x_{n}^{2} - x^{2} + x^{2}

\leq ∣ x_{n}^{2} - x^{2} ∣ + x^{2}

< \frac{ɛ}{2} + x^{2}

= \frac{ɛ}{2} + y - ɛ

= - \frac{ɛ}{2} + y - y_{n} + y_{n}

\leq - \frac{ɛ}{2} + ∣ y - y_{n} ∣ + y_{n}

< - \frac{ɛ}{2} + \frac{ɛ}{2} + y_{n} = y_{n}

.

Ganz schön aufwendig, wenn man genau argumentiert (obwohl ich etwas salopp von "Eigenschaften für genügend große n" geschrieben habe)...

In der Praxis argumentiert man eher anschaulicher:
An der Skizze des Koordinatensystems "sieht man", dass alle Folgen

((x_{n}, y_{n}))_{n \in ℕ} \subseteq ℝ^{2}

mit

(x_{n}, y_{n}) \to (x, y)

(also

x_{n} \to x

und

y_{n} \to y

) für

n \to \infty

für genügend große

n

die Bedingung

y_{n} > x_{n}^{2}

gilt.

Die Fälle ii) und iii) lassen sich auf ähnliche Weise behandeln.
Mache sie dir am besten anhand deiner Skizze klar.

mathrac aktiv_icon

00:44 Uhr, 28.05.2017

Okay, vielen dank das du so spät mir noch eine gute Antwort geben kannst! Respekt! Ja der Epsilon Beweis ist wie ich finde immer ein wenig aufwendiger, aber dafür halt genauer. Am Anfang hatte ich die Idee gehabt, dass man das ähnlich wie der Stätigkeit einer Funktion mit einer Variablen nachweisen könnte... also sich die Grenzübergänge anschauen und diese vergleichen, da auf dem Restlichen definierten bereich der Funktion Stetigkeit vorherrscht. Das Problem hier aber war zum einen, das wir keinen Grenzübergang haben, da die Variablen im "Verhältnis" stehen und somit für den Fall akkurat für sich nachgewiesen werden müssen. Aber vor allem hat mir die Schreibweise große Probleme bereitet. Aber ich denke, dass mir der Zusammenhang zwischen der Metrik und dem Raum jetzt deutlicher wurde. Deshalb vielen Dank! Jetzt werde ich die restlichen aufgaben nicht mehr schaffen, das mach ich dann morgen. :-D)
Kann ich mich bei Fragen einfach nochmal dazu melden?

tobit aktiv_icon

00:49 Uhr, 28.05.2017

Zu iv):

Sei nun

(x, y) \in ℝ^{2}

mit

y = x^{2}

und

x \neq 0

(insbesondere

y > 0

).

Ich behaupte, dass

f

auch in

(x, y)

stetig ist.

Sei also wieder eine Folge

((x_{n}, y_{n}))_{n \in ℕ} \subseteq ℝ^{2}

mit

(x_{n}, y_{n}) \to (x, y)

(also

x_{n} \to x

und

y_{n} \to y

) für

n \to \infty

beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist

f (x_{n}, y_{n}) \to f (x, y)

(d.h.

f (x_{n}, y_{n}) \to \frac{2 y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} = 2 x

).

Für genügend große

n

ist

y_{n} > 0

und

x \neq 0

, so dass für diese

n

gilt:

f (x_{n}, y_{n}) = 2 x_{n}

oder

f (x_{n}, y_{n}) = \frac{2 y_{n}}{x_{n}}

.

Da sowohl

2 x_{n} \to 2 x

als auch

\frac{2 y_{n}}{x_{n}} \to \frac{2 y}{x} = 2 x

für

n \to \infty

gilt, folgt wie gewünscht

f (x_{n}, y_{n}) \to 2 x

für

n \to \infty

tobit aktiv_icon

01:06 Uhr, 28.05.2017

Klar kannst du dich bei Fragen morgen gerne nochmal melden.

Letztlich guckt man auch im Mehrdimensionalen, ob die Funktionsvorschriften "an den Übergängen zueinander passen".
Das wird sicherlich beim Studium von iv) deutlicher als beim Studium von i).

Die Idee bei i) war grob gesprochen, dass es für die Stetigkeit in (x,y) nur auf einen "Nah-Bereich um (x,y) herum" ankommt.
Und für alle Punkte (x',y') aus einem genügend kleinen solchen "Nah-Bereich" ist, wie an der Skizze deutlich wird,

y ʹ > x ʹ

und damit

f (x ʹ, y ʹ) = 2 x ʹ

.

Bei iv) hingegen besteht ein "Nah-Bereich" von (x,y) aus Punkten

(x ʹ, y ʹ)

mit

f (x ʹ, y ʹ) = 2 x ʹ

und solchen mit

f (x ʹ, y ʹ) = \frac{2 y ʹ}{x ʹ}

.
So wie du "im Eindimensionalen" manchmal zwischen linksseitigen und rechtsseitigen Werten unterscheiden musstest, sind auch bei dieser Aufgabe unter iv) zwei "Arten" von Punkten (x',y') zu beachten.

(Falls ihr den topologischen Begriff einer Umgebung hattet: Dann kannst du überall in meiner Darstellung das Wort "Nah-Bereich" durch "Umgebung" ersetzen.)

mathrac aktiv_icon

23:35 Uhr, 28.05.2017

Hallo tobi,

also habe es geschafft! Ich habe alle Fälle mit dem Epsilon Kriterium beweisen können. Somit kann ich zum Schluss kommen, das die Funktion in

- 2 x, 2 x

und 0 Stetig ist. Da ich für jeden der Punkte von

F (x_{n}, y_{n})

einer dieser Punkten herausbekommen habe. Der Letzte Fall,

F (x_{n}, y_{n}) = (0,0)

ist ja schon fast trivial, wegen der Umgebung, oder? Ja Umgebungen haben wir definiert. Das ist ja dann wichtig um die ganzen Eigenschaften der Metrik und des metrischen Raumes zu verstehen, gerade wenn dann nachweise über Vollständigkeit des Raumes gezeigt werden sollen... oder ganz banal, für die Definition der offenen/abgeschlossenen Mengen im Bezug auf innere Punkte.

tobit aktiv_icon

12:00 Uhr, 29.05.2017

" also habe es geschafft! "

Schön. Dann bist du sicherlich zu dem Schluss gekommen, dass die Funktion

f

überall stetig ist.

" Somit kann ich zum Schluss kommen, das die Funktion in −2x,2x und 0 Stetig ist. "

???
Die Funktion

f

kann in Punkten

(x, y)

für

x, y \in ℝ

stetig sein, aber nicht in Punkten -2x oder 2x für

x \in ℝ

, denn

- 2 x

und

2 x

gehören als reelle Zahlen gar nicht zum Definitionsbereich der Funktion

f

!

" Da ich für jeden der Punkte von F(xn,yn) einer dieser Punkten herausbekommen habe. Der Letzte Fall, F(xn,yn)=(0,0) ist ja schon fast trivial, wegen der Umgebung, oder? "

Bei welchem der Fälle i) bis vi) bist du gerade?

Alle Werte der Form

f (x_{n}, y_{n})

sind reelle Zahlen und nicht Zahlenpaare wie (0,0) !

Im Allgemeinen wird für manche

n \in ℕ

die Gleichung

(x_{n}, y_{n}) = (0, 0)

gelten und für andere

n \in ℕ

nicht gelten.

mathrac aktiv_icon

12:20 Uhr, 29.05.2017

Ups entschuldige, das ist natürlich genau so. Also dass sie in allen punkten Stetig ist.

Ich bin im letzten Fall.

tobit aktiv_icon

12:30 Uhr, 29.05.2017

Den letzten Fall vi)

(x, y) = (0, 0)

finde ich am schwierigsten:

Jede Umgebung von

(0, 0)

enthält Punkte aller "vier Bereiche, in denen die Funktion durch die einzelnen Terme definiert ist" .

Während bei i) nur ein "Bereich" "wesentlich" war und bei iv) zwei "Bereiche", sind es bei vi) alle vier "Bereiche".

Wenn du möchtest, kannst du ja mal deine Überlegung zur Stetigkeit von

f

(0, 0)

präsentieren.

mathrac aktiv_icon

12:43 Uhr, 29.05.2017

Genau, also meine Überlegung zur Stetigkeit von

f \in (0,0)

ist folgend:

Gerade, weil die Funktion in diesem Bereich 2(bzw.

4)

unterschiedliche Verläufe annehmen kann, würde ich das mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert untersuchen, ob das für jede einzelne Variable gilt. Also

f (x,0) = (0,0), f (0, y) = (0,0)

prüfen, indem ich von jeden der zweien den links und rechtsseitigen GW vergleiche.

Stimmt das so?

mathrac aktiv_icon

12:45 Uhr, 29.05.2017

Ergänzung: Also, in einer Fallunterscheidung die GW untersuchen.

tobit aktiv_icon

13:02 Uhr, 29.05.2017

Nein, das stimmt nicht.

Es gilt sicherlich nirgendwo

f (x, 0) = (0, 0)

, denn die Funktionswerte von

f

sind reelle Zahlen und nicht Zahlenpaare!

Wenn ich dich richtig verstehe, möchtest du Folgendes zeigen:
1. Für alle Folgen

(x_{n})_{n \in ℕ}

reeller Zahlen mit

lim_{n \to \infty} x_{n} = 0

gilt

lim_{n \to \infty} f (x_{n}, 0) = 0 = f (0, 0)

.
2. Für alle Folgen

(y_{n})_{n \in ℕ}

reeller Zahlen mit

lim_{n \to \infty} y_{n} = 0

gilt

lim_{n \to \infty} f (0, y_{n}) = 0 = f (0, 0)

.

Die Gültigkeit von 1. und 2. ist jedoch nicht hinreichend für den Nachweis der Stetigkeit von

f

(0, 0)

; es gibt nämlich in

(0, 0)

NICHT stetige Funktionen

f : ℝ^{2} \to ℝ

mit

f (0, 0) = 0

, die durchaus 1. und 2. erfüllen.

Nennen wir die "vier Bereiche" mal

B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}

, also

B_{1} := {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ y > x^{2}}

B_{2} := {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ x \neq 0, ∣ y ∣ \leq x^{2}}

B_{3} := {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ y < - x^{2}}

B_{4} := {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ (x, y) = (0, 0)} = {(0, 0)}

.

Überlege dir vielleicht erst einmal jeweils für

i = 1, 2, 3, 4

separat:

Ist

((x_{n}, y_{n}))_{n \in ℕ}

eine Folge von Punkten

(x_{n}, y_{n}) \in B_{i}

mit

lim_{n \to \infty} (x_{n}, y_{n}) = (0, 0)

, so folgt

lim_{n \to \infty} f (x_{n}, y_{n}) = 0 = f (0, 0)

.

Daraus lässt sich dann mit geeigneten Argumenten folgern, dass auch für jede Folge

((x_{n}, y_{n}))_{n \in ℕ}

von beliebigen Punkten

(x_{n}, y_{n}) \in ℝ^{2}

mit

lim_{n \to \infty} (x_{n}, y_{n}) = (0, 0)

die Gültigkeit von

lim_{n \to \infty} f (x_{n}, y_{n}) = 0 = f (0, 0)

folgt.

mathrac aktiv_icon

13:11 Uhr, 29.05.2017

Okay, mhh, dann habe ich da wohl an was falsches gedacht

\frac{:}{}

. Ich probiere deinen Ansatz gleich heute Abend aus und schreibe es dann hier rein. Vielen Dank für deine Hilfe! :-)

tobit aktiv_icon

13:13 Uhr, 29.05.2017

Alles klar!

mathrac aktiv_icon

17:45 Uhr, 29.05.2017

tobi, könntest du mir mal bitte die

B_{1}

zeigen?

tobit aktiv_icon

17:53 Uhr, 29.05.2017

Sei also

((x_{n}, y_{n}))_{n \in ℕ}

eine Folge von Punkten

(x_{n}, y_{n}) \in B_{1}

mit

lim_{n \to \infty} (x_{n}, y_{n}) = (0, 0)

.
Zeigen wollen wir

lim_{n \to \infty} f (x_{n}, y_{n}) = 0

.

Wir haben

x_{n} \to 0

und

y_{n} \to 0

für

n \to \infty

.
Wegen

(x_{n}, y_{n}) \in B_{1}

gilt

y_{n} > x_{n}^{2}

.

Daher gilt

f (x_{n}, y_{n}) = 2 x_{n} \to 2 \cdot 0 = 0

für

n \to \infty

mathrac aktiv_icon

18:34 Uhr, 29.05.2017

Oh misst, verzeih mir bitte

: (

. Ich hab gerade das schon posten wollen, also ich bin auch ohne den Tipp gerade da drauf gekommen. Nun ja hier habe ich das mal für

B_{i}

ausführlich aufgeschrieben. Ich denke das müsste so passen.
Ich kann aber für die

B' s

auch einfach den Limes von

x \to 0

betrachten, oder?
Da alle GW für alle

B' s

übereinstimmen stimmt die Behauptung und somit ist die Funktion in allen Punkten stetig.

mathrac aktiv_icon

18:38 Uhr, 29.05.2017

Also ich meine das so bspw. für

B_{1} :

lim f (t, t) = lim 2 \cdot t = 2 \cdot 0 = 0 = f (0,0)

t \to 0

tobit aktiv_icon

18:48 Uhr, 29.05.2017

In deinem Bild sind 1) und 3) korrekt.
4) auch bis auf die vergessenen Indizes bei

(x_{n}, y_{n}) = (0, 0)

.

Der schwierigste Teil 2) ist noch falsch.
Du dividierst bei

\frac{2 \cdot 0}{0}

munter durch

0

...
(Und statt "

x \neq 0

∣ y ∣ \leq x^{2}

" muss es wieder "

x_{n} \neq 0

∣ y_{n} ∣ \leq x_{n}^{2}

für alle

n \in ℕ

" heißen.)

Um

\frac{2 y_{n}}{x_{n}} \to 0

zu zeigen, schätze

∣ \frac{2 y_{n}}{x_{n}} ∣

unter Verwendung von

∣ y_{n} ∣ \leq x_{n}^{2}

nach oben ab.

Die Idee

lim_{t \to 0} f (t, t) = f (0, 0)

zu zeigen, führt nicht zum Erfolg:
Es gibt in

(0, 0)

NICHT stetige Funktionen

f : ℝ^{2} \to ℝ

, für die dennoch

lim_{t \to 0} f (t, t) = f (0, 0)

gilt.

mathrac aktiv_icon

19:00 Uhr, 29.05.2017

Okay, so habe jetzt die Fehler behoben. Die Abschätzung habe ich durch die Bedingungen so gemacht, dass

2 y_{n}

mit

x_{n}^{2}

(bzw.

2 x_{n})

ist, wodurch dich durch kürzen nur noch

x_{n}

stehen habe. Wodurch die Behauptung folgt.

Vielen Dank für die Zeit und deine Geduld, damit ist meine Frage beantwortet und ich habe noch dazu einige lernen können.

mathrac aktiv_icon

19:00 Uhr, 29.05.2017

Okay, so habe jetzt die Fehler behoben. Die Abschätzung habe ich durch die Bedingungen so gemacht, dass

2 y_{n}

mit

x_{n}^{2}

(bzw.

2 x_{n})

ist, wodurch dich durch kürzen nur noch

x_{n}

stehen habe. Wodurch die Behauptung folgt.

Vielen Dank für die Zeit und deine Geduld, damit ist meine Frage beantwortet und ich habe noch dazu einige lernen können.

tobit aktiv_icon

19:03 Uhr, 29.05.2017

Schön! :-)

(Du solltest nicht

2 \cdot x_{n}

, sondern

2 \cdot ∣ x_{n} ∣

da stehen haben.
Ohne Beträge funktioniert meine Abschätzung nicht.)

mathrac aktiv_icon

19:04 Uhr, 29.05.2017

Stimmt, sonst macht die Abschätzung keinen Sinn :-D)

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