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Allgemeines Distributivgesetz beweisen (Induktion)

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Sonstiges

Tags: allgemeines Distributivgesetz, Beweis, verallgemeinertes Distributivgesetz, Vollständig Induktion

Flowerpot aktiv_icon

16:13 Uhr, 23.09.2016

Hallo miteinander,
Ich hänge an einer bestimmten Aufgabe und würde mich gerne über ein paar Gedankenstützen freuen.

Aufgabe:
Beweise mittels vollständiger Induktion das folgende verallgemeinerte Distributivgesetz (*) für logische Ausdrücke

H

H_{1}

H_{2}

, … , bei vorgesetzter Gültigkeit des Distributivgesetzes.

(H_{1} \lor H_{2}) \land H = (H_{1} \land H) \lor (H_{2} \land H)

(*)

(⋁_{i = 1}^{n} H_{i}) \land H = ⋁_{i = 1}^{n} (H_{i} \land H)

mit n ∈ ℕ

Soweit so gut.
Bisher sieht es bei mir so aus:
_____________
Induktionsanfang

n

= 1

Linke Seite:

(H_{1}) \land H

Rechte Seite:

(H_{1} \land H)

Linke Seite = Rechte Seite --> stimmt

n

= 2

Linke Seite:

(H_{1} \lor H_{2}) \land H \leftrightarrow (H_{1} \land H) \lor (H_{2} \land H)

\to

Distributivgesetz ist laut Aufgabe gültig.

Rechte Seite:

(H_{1} \land H) \lor (H_{2} \land H)

Linke Seite = Rechte Seite --> stimmt auch
_______________
Induktionsvorrausetzung (I.V.)
Wir setzen vorraus, dass die zu beweisende Aussage auch für eine beliebige, aber festgedachte Zahl k > 2 gilt.

(⋁_{i = 1}^{k} H_{i}) \land H = ⋁_{i = 1}^{k} (H_{i} \land H)

_______________
Induktionsbehauptung (I.Beh.)
Wir behaupten, es auch für den Nachfolger für k, also k+1, gilt.

(⋁_{i = 1}^{k + 1} H_{i}) \land H = ⋁_{i = 1}^{k + 1} (H_{i} \land H)

_______________
Induktionsbeweis
Ab hier bin ich mir nicht sicher wie ich anfangen soll. Ich weiß, dass ich von der I.V. auf die I.Beh. schließen soll, um die Aussage oben zu beweisen.
Mein Ansatz:

(H_{1} \lor H_{2} \lor H_{3} \lor . . . \lor H_{k} \lor H_{k + 1}) \land H = (H_{1} \land H) \lor (H_{2} \land H) \lor . . . \lor (H_{k} \land H) \lor (H_{k + 1} \land H)

\to

I.V. einsetzen!

((⋁_{i = 1}^{k} H_{i}) \lor H_{k + 1}) \land H = ⋁_{i = 1}^{k} (H_{i} \land H) \lor (H_{k + 1} \land H)

...
Und ab hier weiß ich leider nicht weiter.
Hoffe es ist relativ nachvollziehbar und dass mich nicht irgendwo vertan hab.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ermanus aktiv_icon

16:25 Uhr, 23.09.2016

Hallo Flowerpot,
der letzte Ausdruck ist doch genau das, was Du haben willst, nämlich die
"Oderei" auf der rechten Seite bis k+1, damit bist Du doch fertig!
Gruß ermanus

Flowerpot aktiv_icon

16:30 Uhr, 23.09.2016

Oh, echt?
Ich dachte ich müsste das jetzt solange umformulieren, bis beide Seiten gleich sind.

Gruß

ermanus aktiv_icon

16:38 Uhr, 23.09.2016

Für mich ist das komplett. Ich bin aber nicht das Maß aller Dinge.
Gruß ermanus

Flowerpot aktiv_icon

16:57 Uhr, 23.09.2016

Ok, ich spiel noch ein bisschen daran rum, ansonsten muss ich mal in der Uni nachhaken. Danke für das Feedback

=)

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