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Analysis, Verständnisfrage
Schüler
Tags: Analysis, Geometrie, Tangent, Tangentengleichung, Wendepunkt
 
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anonymous 01:09 Uhr, 17.03.2012  |
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Huhu, normalerweise bin ich ja immer derjenige, der die Fragen beantwortet, und nicht der, der sie stellt. Ich arbeite im Moment als Mathematik-Nachhilfelehrer und wurde von einer Abiturientin mit einer Aufgabe überrollt, die ich beim besten Willen nicht begreife. Es geht hierbei um die Aufgabe aus folgender Abitur-Prüfung: Ein Tal in den Bergen wird nach Westen von einer steilen Felswand, nach Osten von einem flachen Höhenzug begrenzt. Der Querschnitt des Geländes wird beschrieben durch das Schaubild der Funktion mit im Bereich ≤ ≤ dabei weist die positive x-Achse nach Osten LE entspricht . In der Talsohle befindet sich ein Dorf, das bereits nachmittags im Schatten liegt. Nach dem Vorbild des italienischen Ortes Viganella soll auf dem höchsten Punkt des Höhenzugs östlich des Dorfes ein Gerüst mit einem drehbaren Spiegel zur Reflexion von Sonnenlicht aufgestellt werden. Auch hier wird der Querschnitt des Geländes durch das Schaubild der Funktion beschrieben. -Bestimmen Sie die Mindesthöhe dieses Gerüstes, bei der das Sonnenlicht den tiefsten Punkt des Geländequerschnitts erreichen kann. -Wie hoch müsste das Gerüst werden, damit der gesamte Geländequerschnitt zwischen Dorf und Gerüst beleuchtet werden kann ? Mir ist klar, dass es in der ersten Aufgabenstellung darum geht, einfach eine Tangente zu ermitteln, die durch den Tiefpunkt der Funktion geht und rechts durch den Berührpunkt des Hügels. In der zweiten Aufgabenstellung muss dasselbe getan werden, allerdings mit dem WENDEPUNKT. Ich verstehe allerdings nicht, wie man darauf kommen soll. Denn der gesamte Querschnitt zwischen Talsohle und Spiegel kann so immer noch nicht beleuchtet werden (das kleine Stück zwischen Wendepunkt und Spiegel). Wo liegt mein Fehler?  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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Hallo subsonic warum denn nicht? der Spiegel ist ja drehbar, und er KANN so gedreht werden, dass auch dieser Teil beleuchtet ist. (Sollte die Funktion am Ende nicht sein, statt ?) Gruss Paul |
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anonymous 15:57 Uhr, 18.03.2012 |
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Darf man fragen: "Wie hoch ist eigentlich das Gerüst?" Danke! stinlein |
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Ob die beteiligten User wohl nach über Jahren hier immer noch aktiv sind . Darf man fragen: "Wie hoch ist eigentlich das Gerüst?" Genau die Mindesthöhen sind bei den Aufgaben ja gesucht! Die Lösung für ist Meter, für ist sie Meter Bei Meter Höhe kann der Tiefpunkt gerade noch beleuchtet werden, der Teil des Osthangs zwischen dem Tiefpunkt und dem blau eingezeichnetem Punkt aber nicht. Ab Meter Höhe (orange) könnte auch dieser Bereich beleuchtet werden.  |
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Danke dir, lieber Roman22, für diese professionelle Skizze. Zeichnerisch habe ich Aufg. gelöst und ung. erhalten. Leider komme ich mit meiner Rechnung nicht hin. Ich habe die Steigung der Kurver ermittelt. somit ermittelt. Dann diese Steigung in kx eingesetzt, ebenfalls die Koordinaten des Wendepunktes! Da erhalte ich für immer . Das kann laut deiner wunderschönen Skizze nicht stimmen, oder? stinlein |
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somit ermittelt ?? Was meinst du damit? Woher soll dieser Wert kommen? Deine erste Ableitung ist richtig. Zunächst musst du den Wendepunkt ermitteln (zweite Ableitung Null setzen) (der orange Punkt in meiner Zeichnung). Danach musst du die Steigung im Wendepunkt bestimmen Die Gleichung der Wendetangente sollte nun kein Problem mehr sein Dass der höchste Hügelpunkt an der Stelle liegt sollte auch bereits ermittelt worden sein (eine der Nullstelle der ersten Ableitung) Die gesuchte Gerüsthöhe ergibt sich dann mit und das entspricht laut Angabe Meter. Ich kann schon verstehen, dass du bei dieser Aufgabe ein wenig durcheinander kommst. Der Höhenunterschied zwischen Talsohle und höchstem Punkt des Hügels beträgt gerade einmal Meter. Für eine Tirolerin ist das ja quasi ebenes Gelände ;-) |
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Vielen lieben Danke für deine verständlichen Ausführungen. Ich werde mich weiterhin damit beschäftigen. Sollte ich nicht hinkommen - trotz deiner klaren Anweisungen- dann bin ich so lästig und melde mich nochmals. Mit diesen wunderbaren Vorgaben müsste das schon gelingen. Liebste Grüße stinlein |
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Und warum setzt du beim Einsetzen in die erste Ableitung für das erste (bei richtig den Wert für das zweite (bei aber den Funktionswert und nicht auch 2 ein?? EDIT: Diese Anmerkung bezog sich auf die falsche Berechnung des Anstiegs, welche du mittlerweile wieder gelöscht hast. Der Anstieg der Wendetangente ist jedenfalls |
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Ja, danke vielmals. Den Fehler habe ich gerade korrigiert. Die Hitze!! Jetzt bin ich endlich soweit, dass ich die gesuchte Gerüsthöhe mit 1 erhalten habe. Und 1 LE enstspricht ja . Die Aufgabe Muss ich noch ausrechnen. Aber anhand deiner tollen Skizze wird mir das sicher gelingen. Danke, Roman22, für diese sehr gute Hilfestellung. Deine Anleitungen für mich werden sicher noch weitere interessierte Follower schätzen. Ich war beeindruckt vom Interesse für diese Aufgabe. Vielleicht hängt es damit zusammen, dass im Fernsehen das Problem des Sonnenlichtes für den Ort Viganella gezeigt wurde. Ist aber schon lange her! Leider kann ich die Aufgabe nicht abschließen. Wenn das möglich ist, bitte melde dich nochmals. Danke! stinlein |
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Jetzt bin ich endlich soweit, dass ich die gesuchte Gerüsthöhe mit 1 erhalten habe. Fein, und das bei den steigenden Vormittags-Temperaturen ;-) Leider kann ich die Aufgabe nicht abschließen. Wo liegt das Problem? Sind wir uns einig, dass die Tangentengleichung an jeder Stelle der Kurve lautet? Und bei Aufgabenstellung ist zunächst jene Tangente an die Kurve gesucht, die auch durch den Tiefpunkt an der Stelle 0 läuft. Also ist die Stelle (der blaue Punkt in meiner Zeichnung) gesucht, für den gilt. Es sollte sich einstellen. Die sich ebenfalls einstellende Doppellösung kann man aus naheliegenden Gründen ignorieren. |
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Danke vielmals! Ja, da stecke ich jetzt noch fest. Auf f'(xo)*(x-xo) f(xo) wäre ich nicht gekommen. stinlein |
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Kann man sich als "Formel" merken oder aber auch bei Bedarf herleiten. Wenn von einer Geraden der Anstieg und ein Punkt bekannt ist, kannst du sicher seinen Ordinatenabschnitt berechnen um ihre Gleichung zu vervollständigen. Wenn du das nun ohne Zahlen sondern mit allgemeinen und machst, kommst du im Wesentlichen auf die genannte Gleichung Unsere gesuchte blaue Tangente hat ja den Anstieg (wobei wir die Stelle eben noch nicht kennen) und läuft durch die Punkte und . Man könnte nun auch den Anstiegt der Geraden durch diese beiden Punkte aufstellen (Differenzendreieck) und mit gleichsetzen. Auch das liefert eine Gleichung für . Wie so oft führen unterschiedliche Wege zu Lösung und welcher Weg der schnellste oder einfachste ist, weiß man meist erst, wenn man alle einmal beschritten hat und dann vergleicht. |
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Ich bin noch nicht klar. Aber ich überlege! Die Aufgabe scheint doch etwas schwieriger zu sein, als ich dachte. Scheitere leider beim Ansatz (Einsetzen der Zahlenwerte!) Ganz lieben Dank für deine Geduld. stinlein |
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Scheitere leider beim Ansatz (Einsetzen der Zahlenwerte!) Es gibt keine Zahlenwerte (außer der Koordinaten des Tiefpunkts) Du musst eben welche der genannten Gleichungen auch immer) eine allgemeine Variable einsetzen, auch in und und erhältst dann eine Gleichung dritten Grades für die aber insofern einfach ist, als du rausheben kannst. |
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Allerbesten Dank, Roman22! Ich versuche es erneut, jetzt müsste ich es eigentlich zustande bringen. Eben das Herausheben von xo^2 dürfte der "Schwierigkeitspunkt" sein, das habe ich vermutlich nicht gecheckt. Ich war immer davon überzeugt, ich müsste Zahlenwerte (Koordinaten von Punkten) einsetzen, um zum Ergebnis von zu kommen. Ich habe mich gwundert, wie du eruiert hast und festgestllt hast, dass diese Aufgabe schon vor ca. Jahren gepostet werde. Interessant ist sie ja, weil sie mit der Wirklichkeit zu tun hat und eben in der Schweiz aktuell ist. Einen schönen Tag noch. Hoffentlich kommen die angekündigten Stürme und der vorausgesagte Hagel nicht so stark bei uns in Tirol an. Ganz herzliche Grüße stinlein PS: Melde mich aber schon noch dazu. Ich schätze deine wertvolle Hilfe dazu sehr und hoffe, dass ich dir nicht zu viel von deiner Freizeit weggenommen habe und das noch dazu bei dieser Hitzewelle! Da die Aufgabe ja schon abgehakt ist, nahm ich an, ich kann sie nicht abschließen, denn die Aufgabe wurde ja von anonymous gestellt und der hat sie nach der Äußerung von Paulus sofort abgeschlossen. |
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Ich habe mich gwundert, wie du eruiert hast und festgestllt hast, dass diese Aufgabe schon vor ca. Jahren gepostet werde. Na, du siehst doch bei jedem einzelne Beitrag Datum und Uhrzeit und beim letzten Beitrag vor deiner Frage, der Beitrag mit dem sinnigen Text "- " von dem user mit dem ebenso sinnigen Nick anonymous2 lese ich, dass er am um Uhr geschrieben wurde. Ist dir diese Angabe von Datum und Uhrzeit noch nie aufgefallen? |
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Zuerst danke für die Anwort. Nein - ich war wahrscheinlich am Anfang immer so auf den Aufgabentext konzentriert, dass mir das bis jetzt noch nie aufgefallen ist. Aber man lernt nie aus. Wurde damals die Frage beantwortet? Anonymous2 gehört sicher zu den cleveren Jungs, wenn damals die Aufgbe ausführlich beantwortet worden wäre, hätte er sicher nicht nochmals nachgefragt. Leider komme ich mit dem Ansatz immer noch nicht zurecht. Trotz meiner stetigen Bemühungen. . xo) Jetzt für den Koordinatenwert also 0 einsetzen - da komme ich leider noch nicht durch. stinlein |
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Ich hatte geschrieben! Fast alle deine sollten sein - bis auf das in der Klammer . Und wenn du für dieses eine nun 0 einsetzt, soll sich (das ist eben ergeben. Das ist nun eine Gleichung für bei der sich letztlich, wenn du alles auf eine Seite gebracht hast und auf der anderen nur mehr Null steht, herausheben lässt. Ob anonymous2 (der seinerzeit offenbar den Nick subsonic hatte) damals zu den "cleveren Jungs" gehört hat, kann ich nicht sagen. Zu den höflichen Jungs gehörte er jedenfalls nicht und man kann nur hoffen, dass sich sein Benehmen in den letzten Jahren zum Besseren gewandelt hat. Nicht nur, dass er offensichtlich einen Fehler in seiner Frage ohne darauf hinzuweisen nachträglich ausgebessert hat und dadurch die Antwort von Paulus in Bezug auf das monierte falsche Vorzeichen zunächst eigentümlich erscheint, hat er offenbar (aufgrund der Antwort von Paulus?) seinen Denkfehler erkannt und den Thread kommentarlos geschlossen. Jedenfalls kann man sein Abschlussposting mit dem Text " " kaum als Kommentar oder gar als ein Dankeschön an Paulus werten. |
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Ja, da hast zu vollkommen recht. Diese drei Bindestriche habe ich auch nicht geschätzt - jetzt ist mir vermutlich klar, warum er die gesetzt hat. Danke für deine Antwort. Ja, irgendwie scheint mich da die ins Tal geleitete Sonne zu blenden. Da glaube ich steckt schon mein Fehler, sodass ich nicht zum richtigen Ergebnis gelange. Ich erhalte immer für falsche Werte. Anhand deiner Skizze sieht man ja auch sehr gut, dass ist. stinlein. |
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Nochmal: In der Gleichung für gibt es nur ein einziges ,alle anderen sind Du hast in den letzten Summanden zweimal 0 eingesetzt und dort gehört hin. Der Ausdruck stammt ja vom y-Wert an der Stelle also . Und führt dann, mit Brüchen geschrieben, auf die Gleichung welche dann in der auf führt, denn die Doppellösung 0 stammt ja trivialerweise von der waagerechten Tangente im Tiefpunkt, welche uns für die Aufgabe aber nicht interessiert. |
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Lieber Roman22! Ich habe den Fehler gemerkt. Dein Hinweis, dass ich herausheben kann, hat mir super geholfen. Ich kam jetzt Gott sei Danke mit deiner Hilfe auf die zwei Lösungen. und und dann auf die beiden y-Werte! (Und damit Turmhöhe Allerliebsten Dank für die viele Mühe und Zeit, die du für mich geopfert hast. Mit den starken Gewittern sind wir nochmals gut davongekommen. Nicht weit von uns entfernt (ca. km)sind immense Schäden entstanden. Manchesmal muss man auch Glück haben. Bitte hilf mir wieder gut weiter, wenn ich wieder einmal deine Unterstützung brauche. Wenn jemand diese Aufgabe - die einfach mein Interesse geweckt hat - auf Anhieb richtig lösen konnte, der ist meiner Meinung nach gut drauf. Nicht leicht, aber erfreulich, wenn dann die richtige Lösung vorliegt. Nochmals herzlichste Grüße und danke stinlein Wenn ich wüsste, wie ich als Einstieger die Aufgabe auch abschließen kann, ich würde es gerne tun. Aber bei mir erscheint der gewünschte Bildschirm leider nicht! Vielleicht deshalb, weil annonymus eben die Aufgabe als Fragesteller abgeschlossen hat. |
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Kein Problem, ich denke, die Frage kann vermutlich nur der Threadersteller abhaken und abgehakt ist sie ja schon seit Jahren ;-) Die eigentliche Frage war damals ja nicht die grundsätzliche Berechnung, sondern die irrige Annahme von subsonic/anonymous2, man könne vom Gerüst aus den Bereich am Osthang zwischen Wendepunkt und Gerüst nicht "beleuchten" - und die hat Paulus ja beantwortet. Eine kurze Internet-Suche mit den Suchbegriffen "Abitur Viganella" fördert auch die Originalaufgabenstellung aus dem Jahr und ein paar Musterlösungen zum Nachlesen zutage ;-) Viganella liegt übrigens nicht, wie du meintest, in der Schweiz, sondern in Italien, im Piemont - allerdings sehr nah an der Grenze zur Schweiz. Aber vielleicht meintest du auch nur, dass damals auch Schweizer Dörfer wie zB Cadenazzo im Tessin an eine solche Lösung gedacht haben. Ich weiß aber nicht, ob so etwas je auch woanders realisiert wurde. |
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Vielen Dank für die Infos. stinlein |
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Lieber Paulus, es ist zwar schon über ein Jahrzehnt her, aber ich möchte dir dennoch meinen herzlichen Dank für deinen entscheidenen Tipp hinterlassen. Ich bin ganz offen und gebe zu, dass meine Erinnungen an die Aufgabe kaum noch vorhanden sind, aber ich weiß noch, dass mir dein Tipp damals beim Lösen eine Hilfe war. Den Kommentar von Roman-22 habe ich mir zu Herzen genommen. Es war nicht meine Absicht, durch meine Bearbeitungen Unhöflichkeit an den Tag zu legen, kann aber sehr gut nachvollziehen, dass ich diesen Eindruck damit geweckt haben muss. Ursprünglich enthielt meine Antwort mit den Bindestrichen meinen vollständigen Lösungsweg. Ich muss gestehen, dass meine Einstellung zum Internet über die letzten Jahre einem starken Wandel ausgesetzt war und dies zur Folge hatte, dass ich die Angewohnheit entwickelt habe, alte und vor allem nicht mehr benutzte Konten nach und nach zu löschen. Bei Diensten, bei denen das nicht möglich ist, ersetze ich nutzergenerierte Inhalte nach Möglichkeit durch Platzhalter. Um die kleinstmögliche Zeichenzahl zu erreichen, sodass das Forum meine Antwort als gültig erachtet, habe ich meine Antwort destruktiverweise mit Bindestrichen aufgefüllt und den präsentierten Lösungsweg verworfen. Das war im Kontext einer Mathematikaufgabe nicht im Sinne der Nachwelt, und dafür möchte ich mich entschuldigen. Für die Aufarbeitung der Aufgabe möchte ich mich ganz besonders auch bei euch beiden, stinlein und Roman-22, bedanken. Ich wünsche allen weiterhin viel Spaß mit OnlineMathe und natürlich auch mit der Mathematik selbst. |
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Lieber Paulus, es ist zwar schon über ein Jahrzehnt her, aber ich möchte dir dennoch meinen herzlichen Dank für deinen entscheidenen Tipp hinterlassen. Ich bin ganz offen und gebe zu, dass meine Erinnungen an die Aufgabe kaum noch vorhanden sind, aber ich weiß noch, dass mir dein Tipp damals beim Lösen eine Hilfe war. Den Kommentar von Roman-22 habe ich mir zu Herzen genommen. Es war nicht meine Absicht, durch meine Bearbeitungen Unhöflichkeit an den Tag zu legen, kann aber sehr gut nachvollziehen, dass ich diesen Eindruck damit geweckt haben muss. Ursprünglich enthielt meine Antwort mit den Bindestrichen meinen vollständigen Lösungsweg. Ich muss gestehen, dass meine Einstellung zum Internet über die letzten Jahre einem starken Wandel ausgesetzt war und dies zur Folge hatte, dass ich die Angewohnheit entwickelt habe, alte und vor allem nicht mehr benutzte Konten nach und nach zu löschen. Bei Diensten, bei denen das nicht möglich ist, ersetze ich nutzergenerierte Inhalte nach Möglichkeit durch Platzhalter. Um die kleinstmögliche Zeichenzahl zu erreichen, sodass das Forum meine Antwort als gültig erachtet, habe ich meine Antwort destruktiverweise mit Bindestrichen aufgefüllt und den präsentierten Lösungsweg verworfen. Das war im Kontext einer Mathematikaufgabe nicht im Sinne der Nachwelt, und dafür möchte ich mich entschuldigen. Für die Aufarbeitung der Aufgabe möchte ich mich ganz besonders auch bei euch beiden, stinlein und Roman-22, bedanken. Ich wünsche allen weiterhin viel Spaß mit OnlineMathe und natürlich auch mit der Mathematik selbst. |
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