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Anstelle von der Quotientenregel die Produktregel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel

umbrella1 aktiv_icon

18:26 Uhr, 05.12.2010

Also..da man die Quotientenregel auch mit der Produktregel berechnen kann (und meine Nachhilfelehrerin gemeint hat, dass dies einfacher sei) habe ich mich nun an einer Aufgabe versucht..aber nicht ganz zur Lösung gekommen.
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen?

Aufgabe:

2 \frac{x}{1 + 3 x}

Meine Rechnung:

äußere Ableitung: innere Ableitung

u (x) = 2 x v (x) = {(1 + 3 x)}^{- 1}

u' (x) = 2 v' (x) =

-->Kettenregel!!

(〉

siehe

f')

äußere Abl. innere Abl.

u (x) = x^{- 1} v (x) = 1 + 3 x

u' (x) = - 1 x^{- 2} v' (x) = 3

f' (x) = - 1 \cdot {(1 + 3 x)}^{- 2} \cdot 3

oder(umgeschrieben):

\frac{3}{{(1 + 3 x)}^{2}}

Nun kann man die Produktregel anwenden:

f' (x) = 2 x \cdot \frac{3}{{(1 + 3 x)}^{2}} + 2 \cdot \frac{1}{1 + 3 x}

zum schluss kam ich darauf:

6 \frac{x}{{(1 + 3 x)}^{2}} + \frac{2}{1 + 3 x}

das Endergebnis beträgt aber

\frac{2}{{(1 + 3 x)}^{2}}

und ich kann nicht nachvollziehen, wie die darauf kommen?!?!?!

Hilfe?!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kettenregel
Quotientenregel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

18:32 Uhr, 05.12.2010

bei dir fehlt ein -

f' (x) = \frac{- 2 x \cdot 3}{{(1 + 3 x)}^{2}} + \frac{2}{1 + 3 x} = \frac{- 2 x \cdot 3}{{(1 + 3 x)}^{2}} + \frac{2 (1 + 3 x)}{{(1 + 3 x)}^{2}} = \frac{2}{{(1 + 3 x)}^{2}}

umbrella1 aktiv_icon

18:34 Uhr, 05.12.2010

ab wo habe ich einen Fejler gemacht?? Ab wann ist meine Rechnung falsch??

Flo1990 aktiv_icon

18:37 Uhr, 05.12.2010

Hallo,
ich konnte deine Schritte nicht so ganz nachvollziehen und rechne es einfach mal ausführlich. Produktregel allgemein:

(u \cdot v)' = u' v + u v'

Deine Funktion lautet ja als Produkt geschrieben:

2 x \cdot {(1 + 3 x)}^{- 1}

Abgeleitet mit der Produktregel ergibt dies:

2 x \cdot - 1 {(1 + 3 x)}^{- 2} \cdot 3 + 2 \cdot {(1 + 3 x)}^{- 1} =

- 6 x {(1 + 3 x)}^{- 2} + 2 \cdot {(1 + 3 x)}^{- 1} =

\frac{- 6 x}{{(1 + 3 x)}^{2}} + \frac{2}{1 + 3 x}

Nun noch auf einen Bruch schreiben:

\frac{- 6 x}{{(1 + 3 x)}^{2}} + \frac{2 \cdot (1 + 3 x)}{{(1 + 3 x)}^{2}} =

\frac{(- 6 x) + 2 \cdot (1 + 3 x)}{{(1 + 3 x)}^{2}} =

\frac{- 6 x + 2 + 6 x}{{(1 + 3 x)}^{2}} =

\frac{2}{{(1 + 3 x)}^{2}}

Ist also genau das selbe, man muss es nur noch auf einen Bruch schreiben. Deine Rechnung ist auch fast richtig, bei dir fehlt nur ein Minus. Jedoch würde ich die Quotientenregel unbedingt lernen. Denn wie du siehst, ist es alleine hier schon mit der Produktregel mehr Aufwand und es gibt auch Aufgaben, wo du die Quotientenregel einfach hernehmen solltest.

michael777 aktiv_icon

18:39 Uhr, 05.12.2010

deine Darstellung mit

u

und

v

und

f'

ist etwas verwirrend

ich versuchs mal neu:

u = 2 x

u' = 2

v = {(1 + 3 x)}^{- 1}

v' = - {(1 + 3 x)}^{- 2} \cdot 3

die rechte 3 kommt von der inneren Ableitung (Kettenregel)

jetzt

f' = u' v + u \cdot v'

f' (x) = 2 \cdot {(1 + 3 x)}^{- 1} + 2 x \cdot (- {(1 + 3 x)}^{- 2}) \cdot 3 = \frac{2}{1 + 3 x} - \frac{6 x}{{(1 + 3 x)}^{2}}

vielleicht findest deinen Fehler selbst

umbrella1 aktiv_icon

18:41 Uhr, 05.12.2010

@michael777: genau soweit bin ich doch auch gekommen..?

michael777 aktiv_icon

18:42 Uhr, 05.12.2010

"Jedoch würde ich die Quotientenregel unbedingt lernen. Denn wie du siehst, ist es alleine hier schon mit der Produktregel mehr Aufwand und es gibt auch Aufgaben, wo du die Quotientenregel einfach hernehmen solltest."

dem kann ich nur zustimmen, es gibt vielleicht einzelne Aufgaben, die mit der Produktregel einfacher zu lösen sind, aber im Normalfall ist die Quotientenregel doch einfacher, vor allem braucht man nicht so viel umformen um auf das Endergebnis zu kommen

michael777 aktiv_icon

18:44 Uhr, 05.12.2010

"genau soweit bin ich doch auch gekommen.."
aber du hattest

+ 6 x

und nicht

- 6 x,

die Reihenfolge der Brüche ist egal

und jetzt die beiden Brüche addieren, vorher auf den Hauptnenner erweitern, das wurde ja weiter oben bereits vorgerechnet

umbrella1 aktiv_icon

19:19 Uhr, 05.12.2010

hä? moment, ich habe das von neuem gerechnet..hoffentlich diesmal nachvollziehbar... :

u (x) = 2 x v (x) = {(1 + 3 x)}^{- 1}

u' (x) = 2 v' (x) = - 3 \cdot {(1 + 3 x)}^{- 2}

f' (x) = 2 x \cdot (- 3) \cdot {(1 + 3 x)}^{- 2} + 2 \cdot {(1 + 3 x)}^{- 1}

= - 6 x \cdot {(1 + 3 x)}^{- 2} + 2 \cdot {(1 + 3 x)}^{- 1}

= - (6 \frac{x}{1}) \cdot \frac{1}{{(1 + 3 x)}^{- 2}} + \frac{2}{1 + 3 x}

= - (\frac{2}{1 + 3 x} + \frac{2}{2}

= - (\frac{2}{{(1 + 3 x)}^{2}}) + 1

und ab hier hängts wieder..

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