Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Auf partielle Differenzierbarkeit prüfen

Auf partielle Differenzierbarkeit prüfen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion

barracuda317 aktiv_icon

19:42 Uhr, 20.08.2012

Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y) \mapsto y \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}

partiell differenzierbar ist und berechen Sie dort die partiellen Ableitungen.

Ich habe dazu als Definition gefunden, dass die Funktion im Punkt

x_{0}

differenzierbar ist, wenn der folgende Grenzwert existiert:

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h v) - f (x_{0})}{h}

Gibt es einen einfacheren Weg als über die Definition zu beweisen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DerDepp aktiv_icon

16:05 Uhr, 21.08.2012

Hossa ;-)

Der von dir gefundene Differentialquotient ist korrekt. Hier hängt die Funktion allerdings nicht von einer Variablen ab, sondern von zwei. In der Aufgabenstellung ist auch nach der partiellen(!) Ableitung gefragt. Bei einer partiellen Ableitung lässt man eine Variable laufen und hält alle anderen fest. Um also zu überprüfen, ob die Funktion f(x,y) an der Stelle

(x_{0}, y_{0})

nach x partiell differenzierbar ist, lässt du x laufen und hälst y fest. Die partielle Ableitung von f(x,y) nach x an der Stelle

(x_{0}, y_{0})

ist

\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h}

sofern der Grenzwert existiert. Entsprechend ist die partielle Ableitung von f(x,y) nach y an der Stelle

(x_{0}, y_{0})

gleich:

\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + h) - f (x_{0}, y_{0})}{h}

Du musst also eigentlich "nur" prüfen, für welche

(x_{0}, y_{0})

der jeweilige Grenzwert existiert und ggf. seinen Wert bestimmen. Das Problem dabei ist, dass du durch Null dividieren würdest, wenn du den Grenzwert

h \to 0

ausrechnen möchtest. Daher muss der Bruch zunächst umgeformt werden. Ich führe das für die partielle Ableitung nach x vor und lasse auch die Indizes an x und y weg:

\frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h} = \frac{y \sqrt{2 (x + h)^{2} + y^{2}} - y \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}}{h}

Den Bruch erweitere ich so, dass ich die dritte binomische Formel anwenden kann:

= \frac{y}{h} \cdot \frac{(\sqrt{2 (x + h)^{2} + y^{2}} - \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}) (\sqrt{2 (x + h)^{2} + y^{2}} + \sqrt{2 x^{2} + y^{2}})}{\sqrt{2 (x + h)^{2} + y^{2}} + \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}} = \frac{y}{h} \cdot \frac{(2 (x + h)^{2} + y^{2}) - (2 x^{2} + y^{2})}{\sqrt{2 (x + h)^{2} + y^{2}} + \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}}

Den Zähler kann ich nun explizit ausrechnen:

= \frac{y}{h} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - y^{2}}{\sqrt{2 (x + h)^{2} + y^{2}} + \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}} = \frac{y}{h} \cdot \frac{4 h x + 2 h^{2}}{\sqrt{2 (x + h)^{2} + y^{2}} + \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}} = \frac{y (4 x + 2 h)}{\sqrt{2 (x + h)^{2} + y^{2}} + \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}}

Was wurde durch diese Umformung gewonnen? Ich kann nun

h = 0

setzen, ohne dass ich durch Null dividiere. Also gilt:

\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = \frac{4 x_{0} y_{0}}{\sqrt{2 x_{0}^{2} + y_{0}^{2}} + \sqrt{2 x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}} = \frac{2 x_{0} y_{0}}{\sqrt{2 x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}} falls (x_{0}, y_{0}) \neq (0, 0)

Dieser Grenzwert bzw. die partielle Ableitung existiert nicht für (0,0), da der Nenner dann Null wird.

Für die partielle Ableitung nach y musst du nun eine analoge Rechnung durchführen...

Ok?

pwmeyer aktiv_icon

17:48 Uhr, 21.08.2012

Hallo,

i

. allg. wird man für diese Frage die Differentiationsregelen benutzen können.

D . h

. die partielle Ableitung bezüglich

x

ist die Ableitung der reellen Funktion

s \to f (x_{0} + s, y_{0})

im Punkt

s = 0

Im Nullpunkt funktioniert liefern diese Regeln kein Ergebnis. Hier muss man direkt mit der Definition arbeiten:

\frac{f (0 + h,0) - f (0,0)}{h} = \frac{0 - 0}{h} = 0

Gruß pwm

barracuda317 aktiv_icon

14:02 Uhr, 22.08.2012

Zunächst erstmal vielen Dank an euch beide für die Mühe.

Ich notiere mal die komplette Definition aus dem Skript, da ich glaube, dass es missverstanden wurde:

Es sei

g \subseteq ℝ^{d}

offen,

f : G \to ℝ^{p}

eine Funktion,

x_{0} \in G

und

v \in ℝ^{d} \ {0}

. Existiert dann der Grenzwert

(δ_{v} f) (x_{0}) := lim_{h \to \infty} \frac{f (x_{0} + h v) - f (x_{0})}{h}

So heißt f in

x_{0}

in Richtung

v

differenzierbar und

(δ_{v} f) (x_{0})

die Richtungsableitung von

f

in Richtung

v

Insofern war

x_{0}

ein Vektor und es wurde in der Tat eine partielle Ableitung gebildet. Das hätte ich aber wohl auch so angeben sollen, Sorry.

Aber die Definition, spielt ja dennoch auf deinen Fall zurück. Mit

v = (1, 0)^{T}

erhalte ich dann deine Grenzwertberechnung mit "laufendem x und festgehaltenem y".

Nun möchte ich mal schauen, ob ich das auch hinbekomme, mit diesem Grenzwert:

δ_{2} f (x_{0}, y_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + h) - f (x_{0}, y_{0})}{h}

Der Rechenweg ist nun (zugegeben etwas analog zu deinem Beispiel ^^):

\frac{f (x_{0}, y_{0} + h) - f (x_{0}, y_{0})}{h} = \frac{(y + h) \sqrt{2 x^{2} + (y + h)^{2}} - y \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}}{h}

Jetzt auch der Versuch für die 3. Binomische Formel:

\frac{((y + h) \sqrt{2 x^{2} + (y + h)^{2}} - y \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}) ((y + h) \sqrt{2 x^{2} + (y + h)^{2}} + y \sqrt{2 x^{2} + y^{2}})}{h * (y + h) \sqrt{2 x^{2} + (y + h)^{2}} - y \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}} = \frac{(y + h)^{2} (2 x^{2} + (y + h)^{2}) - y^{2} (2 x^{2} + y^{2})}{h * (y + h) \sqrt{2 x^{2} + (y + h)^{2}} - y \sqrt{2 x^{2} + y^{2}}}

Bevor ich hier den Rechenkampf annehme, kann man da noch was vereinfachen? Ausmultiplizieren wird ja durch die

(y * h)^{2}

ziemlich eklig.

@pwmeyer, so recht verstehe ich deinen Beitrag noch nicht. Wie ist denn die Ableitung der reellen Funktion zu verstehen? Wie bist du auf diese Funktion gekommen?

-----

Allgemein ist das doch ein ziemlicher Rechenkrieg für eine Klausur oder sehe ich das falsch? :(

DerDepp aktiv_icon

01:38 Uhr, 23.08.2012

Nee, ich habe dich nicht missverstanden. Du hast ja klar geschrieben, dass du die partiellen Ableitungen nach x und y berechnen sollst. Den ausführlichen Weg habe ich gewählt, weil man in der Regel die Ableitungsregeln noch nicht durchgenommen hat, wenn man so eine simple Ableitung bestimmen soll...

In deiner Rechnung musst du auch die zweite Wurzel im Nenner mit h multiplizieren. Ansonsten ist alles richtig gerechnet. Du musst den Differenzenquotienten jetzt noch so vereinfachen, dass du h=0 einsetzen kannst, ohne durch 0 zu dividieren. Daher ist es ratsam, den Zähler aufzulösen. Es bleiben dann Terme mit h und

h^{2}

stehen, so dass du mit dem h im Nenner kürzen kannst. Anschließend kannst du h=0 einsetzen und somit die partielle Ableitung von f(x,y) nach y berechnen.

pwmeyer aktiv_icon

10:57 Uhr, 23.08.2012

Hallo,

Du untersuchst den Grenzwert von

\frac{1}{h} \cdot (f (x_{0}, y_{0} + h) - f (x_{0}, y_{0}))

Das ist der Differenzenquotient zur Berechnung der (eindimensionalen) Ableitung der Funktion

g (h) := f (x_{0}, y_{0} + h)

im Punkt

h = 0

. Deshalb ist das Ergebnis

g' (0)

und braucht

i

.allg. keine besondere Mühe. Typische Ausnahme sind Punkte, wo ein Nenner 0 wird.

Was die allgemeine Richtungsableitung angeht, so ist sie ebenfalls die (eindimensionale) #Ableitung der Funktion

g (h) := f (x_{0} + h \cdot v)

(jetzt mit

x_{0} \in ℝ^{n}, v \in ℝ^{n}

Gruß pwm

mac-user09 aktiv_icon

18:14 Uhr, 09.05.2013

Hallo,

ich habe eine ähnliche Frage zur Partiellen Ableitung, daher eröffne ich keinen neuen Thread:

Wenn ich die p-Ableitung in

x_{0}

haben will und ich mich im

ℝ^{2}

befinde, muss ich den Diff.Quotienten aufstellen und den Limes ausrechnen.

Ich bekomme dann, wegen den Raumrichtungen, insgesamt doch 2 Ableitungen. Müssen diese Grenzwerte, die ja die Ableitungen darstellen für beide Raumrichtungen gleich sein, um von partieller Differenzierbarkeit in

x_{0}

sprechen zu dürfen?

Grüße
Mac

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1093683

1021877

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?