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Aufgabe zu Inzidenzaxiom
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Axiom, Beweis, Inzidenz, Satz
 
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Hallo allerseits, ich habe mich hier angemeldet, da ich Geometrie & Statistik Didaktik studiere. Nun zu meiner Frage, ich soll folgende Aufgabe bearbeiten, komme jedoch nicht voran: Gegeben seien drei Geraden und . Beweisen Sie nur mit der Hilfe der in genannten Axiome (I1 Durch zwei Punkte und gibt es stets eine Gerade I2 Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei verschiedene Punkte; I3 Es gibt mindestens drei Punkte, die nicht auf derselben Gerade liegen) den folgenden Satz: Schneiden sich die Geraden und in einem Punkt und ist geschnitten leere Menge}, so schneidet auch die Gerade So, man soll hier Voraussetzung, Behauptung und Beweis ausführen. Der Beweis macht mir die Probleme, ich denke es wird durch einen indirekten Beweis bewiesen. Ich habe vorallem mit dem I3 ein Problem, wäre super wenn mir jemand dieses Axiom anschaulich erklären könnte. Danke im Voraus. Simon Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Hallo Simon, ich muss da mal nachfragen... Wir bewegen uns in einem Inzidenzraum, nehme ich an? Das Parallelenaxiom (Zu jedem Punkt und jeder Geraden gibt es genau eine Gerade , so dass und gilt.) gilt, darf aber nicht verwendet werden? Mfg Michael |
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Hallo Michael, Genau alles richtig verstanden, ich dachte auch erst an das Parallelaxiom, wir dürfen aber nur die 3 Axiome verwenden die ich angegeben habe. Ich hoffe du kannst mir weiter helfen. Mfg Simon |
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Hallo Simon, ich glaube, dass man aus den drei Axiomen nicht wird den geforderten Satz herleiten können. Begründung: Im gelten alle drei Axiome( aber eben nicht das Parallelenaxiom). Dort könnten wir als Gerade die -Achse, als Gerade die -Achse und damit als Punkt den Ursprung betrachten. Wenn eine Parallele zu -Achse durch z.b. ist, so sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt, die conclusio aber nicht. Es muss also noch was bei der Aufgabe sein. Steht sie denn genau so auf dem Übungsblatt, oder wo auch immer du sie her hast? Mfg Michael |
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Hallo, Danke erst mal, ich sehe das genauso. Das einzige was mir dazu einfällt ist, dass wir diese 3 Axiome nicht im Raum behandelt haben sondern in der Ebene. Wäre es denn dann zu lösen nur mit diesen 3 Axiomen? Es sollte laut Dozent auf einen indirekten Beweis rauslaufen. Vielen Dank Simon |
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Hallo Simon, darum geht es ja. Es muss eine zusätzliche Information geben, anhand der die von mir geschilderte Situation auszuschließen ist. Die kann ich aber in deiner Aufgabenstellung nicht erkennen. Bleiben folglich nur zwei Möglichkeiten: Entweder der Dozent hat einen Fehler gemacht. Hm.... Oder in der Aufgabe sind weitere Dinge versteckt, die du nicht gepostet hast. Das erscheint mir naheliegender. Kannst du nicht einfach die ganze Aufgabe posten, das Arbeitsblatt scannen oder den Link angeben, wo man das findet? Sorry, aber sonst sehe ich erst mal keine Möglichkeit. Mfg Michael |
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Hallo nochmal, Ich versuche jetzt die Folie der Vorlesung und das Übungsblatt hochzuladen...   |
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Hallo Simon, siehste... In a) ist das Parallelenaxiom erwähnt. Das hast du unterschlagen! Gut, dass ich noch einmal nachgefragt habe. Hilft allein der Hinweis, dass das Parallelenaxiom (P) Zu jeder Geraden und jedem Punkt gibt es genau eine Gerade , sodass und gelten. gilt? Wenn nicht, musst du dich noch mal melden, ich muss aber auch erst den Beweis zuende basteln. ;-) Mfg Michael |
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Hallo Simon, ich schon wieder. Da muss man nicht lang drüber nachdenken. Versuch einen Widerspruchsbeweis (gute Idee vom Dozenten). Betrachte die (eindeutige!!!) Parallele zu durch und beachte, dass sich und NUR in schneiden, insofern nicht identisch sein können. Mfg MIchael |
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Sehr gut, ich habe tatsächlich dieses kleine "P" überlesen. Super! Danke. Bloß wäre es super wenn du mir mit dem Beweis noch bis morgen oder wanns dir passt helfen könntest, denn ich muss gestehen was das anbelangt habe ich keine Übung, ist für mich also absolutes Neuland. Mfg Simon |
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Hallo Simon, seien die Voraussetzungen wie von dir geschildert. Annahme: , d.h. ist eine Parallele zu durch den Punkt . Wegen der Voraussetzung ist aber auch eine Parallele zu durch . Da die Parallele aber eindeutig ist (hier kommt (P) ins Spiel), muss also gelten. Wegen (I2) gilt aber . Das steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung , bzw. Mfg Michael |
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Hallo Michael, Vielen herzlichen Dank! Hat mir super weitergeholfen. Ich hoffe ich darf mich in Zukunft nochmal an dich wenden. Alles Gute Simon |
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