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Basis Polynom bestimmen

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

gerolsteiner aktiv_icon

14:38 Uhr, 31.01.2017

Hallo,

ich brauche eure Hilfe zu einer Aufgabe, wo man die Basis eines Polynoms bestimmen muss.
Die genau Aufgabenstellung hab ich hochgeladen.
Ich weiß nicht genau, ob es stimmt, was ich gemacht habe..

zur Teilaufgabe

b,

Kann man hier einfach die "Standardbasis" wählen.
Die Dimension von einem Polynom 3. Grades ist gleich 4.

D . h

. die Basis besteht aus 4 Vektoren.

Also wähle ich als Basis

B = {1, x, x^{2}, x^{3}}

.
Warum das eine Basis ist? Naja, weil diese Vektoren linear unabhängig sind. Die Linearkombination hat nur die triviale Lösung

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = λ_{4} = 0

.

zur Teilaufgabe

c,

Koordinaten von einem Polynom:

p (x) = a_{n} \cdot x^{n} + ... . . + a_{1} x^{1} + a_{0} \cdot 1

Sind das, die Koeffizienten

a_{n}

?

Also für

p 1 : a_{0} = 0, a_{1} = 0, a_{2} = 4, a_{3} = 3

p 2 : a_{0} = 1, a_{1} = 0, a_{2} = 2, a_{3} = 3

p 3 : a_{0} = 3, a_{1} = 0, a_{2} = - 2, a_{3} = 3

Stimmt das, was ich hier jetzt aufgeschrieben habe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

ledum aktiv_icon

15:45 Uhr, 31.01.2017

Hallo
1.

W

ist der Span aus 3 Vektoren also maximal 3 dimensional
zuerst muss du die dim von

W

bestimmen, wenn die 3 wäre bist du fertig und

b)

wären einfach die 3 Vektoren (du sollst ja nicht irgendeine Basis, des gesamtVR angeben, sondern eine des Unterraums

W

dann aus den 3 Vektoren die Anzahl

(dim (W)

von Basisvektoren suchen.
kurz deine Antwort ist falsch -
zu

c) \in b)

hat du eine Basis gewählt

B

. jetzt musst du die Komponenten zu DIESER Basis bestimmen, nicht zu der von dir falsch angegebenen.
Also ein bisschen mehr Arbeit.
Gruß ledum

gerolsteiner aktiv_icon

16:40 Uhr, 31.01.2017

Erstmal Danke für die Antwort.

Ich habe, wenn ich deinen Ratschlag richtig verstanden habe, jetzt folgendes Ergebnis für

b :

Ich habe überprüft, ob

p 1, p 2, p 3

linear unabhängig sind, indem ich ein LGS aufgestellt habe. Also

p 1, p 2, p 3

als Linearkombination dargestellt.

Mit ausmultiplizieren erhalte ich:

λ_{1} x^{3} + λ_{2} 3 x^{3} + λ_{3} 3 x^{3} + λ_{1} 4 x^{2} + λ_{2} 2 x^{2} - λ_{3} 2 x^{2} + λ_{2} + λ_{3} 3 = 0 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x^{1} + 0 \cdot 1

λ_{1} + 3 λ_{2} + 3 λ_{2} = 0

II:

4 λ_{1} + 2 λ_{2} - 2 λ_{3} = 0

III:

λ_{2} + 3 λ_{3} = 0

Das mit Gauß liefert mir die Lsg, das es nur die triviale Lösung

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0

existiert.
Also

p 1, p 2, p 3

linear unabhängig und somit auch Basis von W.

(dim (W) = 3)

Stimmt das ?

ledum aktiv_icon

16:52 Uhr, 31.01.2017

Hallo
die erste Gleichung ist falsch , es ist

3 λ_{1}

nicht

1 \cdot λ_{^}

bei richtigen Gleichungen kommt Rang 2 raus.
Gruß ledum

gerolsteiner aktiv_icon

17:06 Uhr, 31.01.2017

Stimmt. Da habe ich was übersehen.
Ok,

d . h

dann, dass die

dim (W) = 2

ist.

Also die Basis aus den linear unabhängigen Vektoren

B = {p 1, p 2)

besteht.

ledum aktiv_icon

17:13 Uhr, 31.01.2017

ja das ist eine Möglichkeit
Gruß ledum

gerolsteiner aktiv_icon

17:27 Uhr, 31.01.2017

Ok. Dann zur Teilaufgabe

c :

Ich hab mir folgendes überlegt.

Koordinaten

p 1

zur Basis

B :

Basis

= {p_{1}, p_{2})

p_{1} (x) = a_{1} \cdot (p_{1} (x)) + a_{2} \cdot (p_{3} (x))

4 x^{2} + 3 x^{3} = a_{1} \cdot (4 x^{2} + 3 x^{3}) + a_{2} \cdot (1 + 2 x^{2} + 3 x^{3})

Mit Koeffizientenvergleich kriege ich nun:

a_{1} = 1

und

a_{2} = 0

Koordinaten

p 2

zur Basis

B :

Basis

= {p_{1}, p_{2})

p_{1} (x) = a_{1} \cdot (p_{1} (x)) + a_{2} \cdot (p_{3} (x))

1 + 2 x^{2} + 3 x^{3} = a_{1} \cdot (4 x^{2} + 3 x^{3}) + a_{2} \cdot (1 + 2 x^{2} + 3 x^{3})

Mit Koeffizientenvergleich kriege ich nun:

a_{1} = 0

und

a_{2} = 1

Koordinaten

p 3

zur Basis

B :

Basis

= {p_{1}, p_{2})

p_{1} (x) = a_{1} \cdot (p_{1} (x)) + a_{2} \cdot (p_{3} (x))

3 - 2 x^{2} + 3 x^{3} = a_{1} \cdot (4 x^{2} + 3 x^{3}) + a_{2} \cdot (1 + 2 x^{2} + 3 x^{3})

Mit Koeffizientenvergleich kriege ich nun:

a_{1} = - 2

und

a_{2} = 3

Stimmt das?

^^{}

ledum aktiv_icon

00:26 Uhr, 01.02.2017

hallo
richtig, nur für

p 2

braucht man eigentlich nicht rechnen, dass

p 2 = 1 \cdot p 2

ist.

p 3

ist richtig
Gruß ledum

gerolsteiner aktiv_icon

18:07 Uhr, 01.02.2017

Vielen Dank für die Hilfe!

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