Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Basis bestimmen und beweisen

Basis bestimmen und beweisen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: basis, Vektorraum

Blahblah aktiv_icon

15:07 Uhr, 05.05.2018

Hallo miteinander,

ich bin gerade an der im Bild zu sehenden Aufgabe dran. Eine Basis hierfür wäre ja

(1,0,1,0), (0,1,0,0), (0,0,0,1)

. Mit den reellen Skalaren der Linearkombination könnte man jeden Vektor "treffen". Mein fundamentales Problem hierbei ist wie zeige ich nun, dass es eine Basis ist? Ich weiß, dass eine Basis linear unabhängig sein muss und ein Erzeugendensystem sein muss. Habe aber keine Ahnung, wie man hier überhaupt anfängt. Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen?

Grüße,

Blah

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Blahblah aktiv_icon

16:30 Uhr, 05.05.2018

Okay, die Frage lineare bezüglich der linearen Unabhängigkeit hat sich erledigt. War doch simpler als ich gedacht hatte, jedoch weiß ich immer noch nicht, wie ich das mit dem Erzeugendensystem anstellen soll

\frac{:}{}

Blahblah aktiv_icon

17:25 Uhr, 06.05.2018

Ich bin mittlerweile nicht großartig weiter gekommen. Die Vermutung, die ich habe ist, dass man zeigen muss die Dimension des Vektorraumes sei 3 und aus der linearen Unabhängigkeit der 3 Vektoren würde dann die Basiseigenschaft folgen. Während ich mir vorstellen kann, dass die Dimension 3 ist komme ich leider nicht darauf, wie ich es zeige. Hätte jemand evtl. einen kleinen Tipp?

\frac{:}{}

DrBoogie aktiv_icon

17:46 Uhr, 06.05.2018

Lineare Unabhängigkeit zeigt man per Definition: lineare Kombi aufschreiben und zeigen, dass alle Koeffizienten 0 sind.
Erzeugendes System: nimm beliebigen Vektor und stell ihn als lineare Kombi dar.

DrBoogie aktiv_icon

17:47 Uhr, 06.05.2018

Dimension direkt zu zeigen ist schwieriger.
Aber wenn Du weißt, wie man die Dimension der Lösungsräume von LGS berechnet, dann geht es einfach.

Blahblah aktiv_icon

18:42 Uhr, 06.05.2018

Danke erst einmal für deine Antwort! :-) Also du meinst das hier nehme ich mal an:

Es sei

v := (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{2})

mit

v \in U

ein beliebiger Vektor, dann gilt

a_{1} \cdot (1,0,1,0) + a_{2} (0,1,0,0) + a_{3} \cdot (0,0,0,1) = (a_{1},0, a_{1},0) + (0, a_{2},0,0) + (0,0,0, a_{3}) =

(a_{1} + 0 + 0, a_{2} + 0 + 0, a_{1} + 0 + 0, a_{3} + 0 + 0) = (a_{1}, a_{2}, a_{1}, a_{3})

Für die Eigenschaft des erzeugenden Systems müsste ja gelten, dass der Aufspann gleich

U

ist und nicht nur, dass er

U

erzeugt, oder? Bisher habe ich ja nur

U \subseteq

span((1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)) gezeigt. Müsste ich hierfür also noch span((1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1))

\subseteq U

zeigen?

DrBoogie aktiv_icon

18:47 Uhr, 06.05.2018

"Es sei v:=(a1,a2,a3,a2) mit v∈U ein beliebiger Vektor, dann gilt"

Es fehlt hier der Satz "dann gilt

a_{1} = a_{3}

".

"Müsste ich hierfür also noch span((1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)) ⊆U zeigen? "

Das ist ziemlich offensichtlich, denn alle diese 3 Vektoren liegen klar in

U

und

U

ist abgeschlossen bzgl. der Bildung von linearen Kombis als ein Vektorraum.

Blahblah aktiv_icon

19:14 Uhr, 06.05.2018

Ja stimmt, ich hatte mich zusätzlich auch noch vertan. Eigentlich wollte ich

v := (a_{1}, a_{2}, a_{1}, a_{4}) . .

. schreiben. Wie dem auch sei, soweit ist nun alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe!:-)

1425304

1425143

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?