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"Basis" einer Matrix bestimmen???

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: basis, Kern, Linear Abbildung, matriz

HerrElch aktiv_icon

17:11 Uhr, 14.05.2020

Hallo zusammen,
ich arbeite derzeit an einer Aufgabe für die Uni und bin zugegeben etwas verwirrt.
Hier erstmal die Aufgabe:
"Seien K und

f :

ℳ_{3} (K) \to K^{3}

mit

f ((a_{i j})_{i j})

= (\begin{array}{rcl} a_{1, 1} \\ a_{2, 2} \\ a_{3, 3} \end{array})

. Geben Sie eine Basis von

k e r

f

an.
Gehen Sie kleinschrittig vor und begründungen Sie jeden Schritt."

Was ich mir dazu gedacht habe:
Zuerst will ich den Kern der Abbildung f finden, um daraufhin die Basis dieses Kerns bestimmen zu können.
Der Kern einer Abbildung sind alle jene Werte aus

ℳ_{3} (K)

, für die gilt, dass sie durch die Funktion auf

0_{K^{3}}

abgebildet werden.
Dazu stelle ich mir einfach alle Matrizen der Form:

(\begin{array}{rcl} 0 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{array})

vor.

Davon müsste ich jetzt eine Basis finden können. Bisher habe ich Basen durch probieren gefunden, aber leider weiß ich nicht wirklich, wie ich das bei einer Matrix anstellen soll. Ich habe überlegt die Matrix vielleicht aufzuteilen in 3 Vektoren. Dann könnte ich zwar vielleicht eine Basis finden (habs noch nicht probiert, aber könnte ich mir vorstellen), die jeden dieser 3 Vektoren darstellen kann.
Das hat doch aber dann mit der eigentlichen Matrix überhaupt nichts mehr zu tun, oder?

Hat jemand von euch vielleicht einen Tipp, was ich genau tun muss?

Vielen Dank und LG :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

ermanus aktiv_icon

17:48 Uhr, 14.05.2020

Hallo HerrElch,

kennst du denn eine Basis von

M_{3} (K)

?

Gruß ermanus

HerrElch aktiv_icon

18:08 Uhr, 14.05.2020

Hallo ermanus,

ich bin mir leider etwas unsicher, habe aber eine Idee. Ich könnte mir vielleicht folgendes vorstellen.
Wenn ich einfach für jedes Element in der Matrix eine eigene Matrix baue nach dem Prinzip:

(

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

(\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

, ... ),

dann müsste ich doch über entsprechende Faktoren

a_{i, j}

jede Matrix aus

M_{3} (K)

durch eine Linearkombintation der Matrizen erzeugen können, oder?
Und dann kann ich eine spezielle Matrix erzeugen, die z.B. an der Stelle

a_{11}

den Wert 0 hat, in dem ich einfach die Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

aus der Basis entferne?! Oder bin ich da auf der falschen Spur?

Schonmal danke für den Tipp... :-)

ermanus aktiv_icon

18:14 Uhr, 14.05.2020

Ja, das sieht prima aus!

Nennen wir die Matrix, die in der Position

(i, j)

eine 1
und sonst nur Nullen hat,

E_{i j}

, dann ist in der Tat

A = (a_{i j}) = \sum_{i, j = 1, 2, 3} a_{i j} E_{i j}

und wie du dann auch
richtig bemerkst, lässt man aus der Basis der

E_{i j}

die Matrizen

E_{11}, E_{22}, E_{33}

weg und bekommt eine 6-elementige Basis
des Kerns.

Gruß ermanus

HerrElch aktiv_icon

18:21 Uhr, 14.05.2020

Ah, prima.
Dann beweise ich jetzt einfach nur noch, dass die so entstandenen Matrizen ein linear unabhängiges Erzeugendensystem bilden und dann bin ich auch schon fertig.
Du hast mir wirklich sehr gut geholfen. Nochmal dankeschön. :-)

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