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Basis eines Eigenraumes?

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: basis, Eigenraum, Eigenwert, Kern

werner- aktiv_icon

10:48 Uhr, 28.03.2011

Hallo!

Ich habe eine kurze Frage zur Bestimmung des Eigenraumes. Nach dem Ausrechnen des charkat. Polynoms und dem Einsetzen der Eigenwerte in die Matrix zum Ausrechnen der Eigenvektoren bekomme ich 2 Nullzeilen. Heißt dies, dass ich 2 Basisvektoren des Eigenraums habe?

Eine weitere Frage: Beim Umformen zur Kernberechnung komme ich auf folgende Matrix:

$(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})$ <br id="elCustomTag2" />
Wie komm ich auf folgendes Ergebnis:

$< (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) >$ = Eigenraum

Vielen Dank im Voraus!

Mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

mathris aktiv_icon

11:24 Uhr, 28.03.2011

Hi Werner,

wenn du zwei genau zwei Nullzeilen in einem homogenen linearen Gleichungssystem hast, hat der Lösungsraum (hier: Eigenraum) Dimension zwei, wird also von zwei linear unabhängigen Lösungen aufgespannt. Zur Bestimmung zweier solcher Lösungen

(u_{1}, u_{2}, u_{3})

und

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

setze zum Beispiel

u_{3} = 0, u_{2} = 1

und bestimme dann

u_{1}

und weiter

v_{3} = 1, v_{2} = 0

und bestimme damit

v_{1}

. Die so erhaltenen Vektoren

u

und

v

sind linear unabhängig und spannen somit den Eigenraum auf. Es sind natürlich nicht zwingend die in der Lösung angegebenen Vektoren, aber das macht nichts. Sie müssen ja nur den gleichen Raum (nämlich den Eigenraum) erzeugen. Dieser hat aber nicht nur eine Basis.

Beste Grüße,

Julian

werner- aktiv_icon

17:50 Uhr, 28.03.2011

Hallo Julian, vielen Dank für deine Hilfe! ;-)

Lg, werner

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